1989 年

Example

已知 \(f'(3)=2\)，则 \(\displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{f(3-h)-f(3)}{2h}=\) ？

Example

设 \(f(x)\) 是连续函数，且 \(f(x) = x + 2\displaystyle\int_{0}^{1}f(t)\mathrm{d}t\)，则 \(f(x) =\) ？

Example

设平面曲线 \(L\) 为下半圆 \(y = -\sqrt{1-x^2}\)，则曲线积分 \(\displaystyle\int_L (x^2+y^2)\mathrm{d}s =\) ?

Example

向量场 \(\boldsymbol{u}(x,y,z) = xy^2\boldsymbol{i} + ye^z\boldsymbol{j} + x\ln(1+z^2)\boldsymbol{k}\) 在点 \((1,1,0)\) 处的散度 \(\operatorname{div}\boldsymbol{u} =\) ?

Example

设矩阵 \(A=\begin{pmatrix} 3 & 0 & 0\\ 1 & 4 & 0\\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix},\ E=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\)，则逆矩阵 \((A-2E)^{-1}=\) ？

Example

当 \(x>0\) 时，曲线 \(y = x\sin\dfrac{1}{x}\) ?

(A) 有且仅有水平渐近线

(B) 有且仅有铅直渐近线

(C) 既有水平渐近线，也有铅直渐近线

(D) 既无水平渐近线，也无铅直渐近线

Example

已知曲面 \(z = 4 - x^2 - y^2\) 上点 \(P\) 处的切平面平行于平面 \(2x + 2y + z - 1 = 0\)，则点 \(P\) 的坐标为 ?

(A) \((1,-1,2)\)

(B) \((-1,1,2)\)

(C) \((1,1,2)\)

(D) \((-1,-1,2)\)

Example

设线性无关的函数 \(y_1,y_2,y_3\) 都是二阶非齐次线性微分方程 \(y'' + p(x)y' + q(x)y = f(x)\) 的特解，\(C_1,C_2\) 为任意常数，则该非齐次线性微分方程的通解为 ?

(A) \(C_1y_1 + C_2y_2 + y_3\)

(B) \(C_1y_1 + C_2y_2 - (C_1 + C_2)y_3\)

(C) \(C_1y_1 + C_2y_2 - (1 - C_1 - C_2)y_3\)

(D) \(C_1y_1 + C_2y_2 + (1 - C_1 - C_2)y_3\)

Example

设函数 \(f(x) = x^2\ (0 \leqslant x < 1),\ S(x) = \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin n\pi x,\ (-\infty < x < +\infty)\)，其中 \(b_n = 2\displaystyle\int_{0}^{1} f(x)\sin n\pi x\,\mathrm{d}x\ (n=1,2,\cdots)\)，则 \(S\left(-\dfrac{1}{2}\right) =\) ?

(A) \(-\dfrac{1}{2}\)

(B) \(-\dfrac{1}{4}\)

(C) \(\dfrac{1}{4}\)

(D) \(\dfrac{1}{2}\)

Example

设 \(A\) 为 \(4\) 阶矩阵，且 \(|A| = 0\)，则 \(A\) 中 ?

(A) 必有一列元素全为 \(0\)

(B) 必有两列元素对应成比例

(C) 必有一列向量是其余列向量的线性组合

(D) 任一列向量是其余列向量的线性组合

Example

设 \(z = f(2x-y) + g(x,xy)\)，其中 \(f(t)\) 二阶可导，\(g(u,v)\) 具有二阶连续偏导数，求 \(\dfrac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}\).

Example

设曲线积分 \(\displaystyle\int_C xy^2 \,\mathrm{d}x + \varphi(x)y \,\mathrm{d}y\) 与路径无关，其中 \(\varphi(x)\) 具有连续的导数，且 \(\varphi(0)=0\)，计算 \(\displaystyle\int_{(0,0)}^{(1,1)} xy^2 \,\mathrm{d}x + \varphi(x)y \,\mathrm{d}y\) 的值。

Example

计算三重积分 \(\displaystyle\iiint_\Omega (x+z)\,\mathrm{d}v\)，其中 \(\Omega\) 是由 \(z=\sqrt{x^2+y^2}\) 与 \(z=\sqrt{1-x^2-y^2}\) 所围成的区域。

Example

将函数 \(f(x) = \arctan\dfrac{1+x}{1-x}\) 展开成 \(x\) 的幂级数 .

Example

设 \(f(x) = \sin x - \displaystyle\int_{0}^{x} (x-t)f(t)\,\mathrm{d}t\)，其中 \(f(x)\) 为连续函数，求 \(f(x)\).

Example

证明：方程 \(\ln x = \dfrac{x}{\mathrm{e}} - \displaystyle\int_{0}^{\pi}\sqrt{1-\cos 2x}\,\mathrm{d}x\) 在区间 \((0,+\infty)\) 内有且仅有两个不同的实根 .

Example

问 \(\lambda\) 为何值时，线性方程组

Example

设 \(\lambda\) 为 \(n\) 阶可逆矩阵 \(\boldsymbol{A}\) 的一个特征值，证明：

(1)\(\dfrac{1}{\lambda}\) 为 \(\boldsymbol{A}^{-1}\) 的特征值；

(2)\(\dfrac{|\boldsymbol{A}|}{\lambda}\) 为 \(\boldsymbol{A}\) 的伴随矩阵 \(\boldsymbol{A}^{*}\) 的特征值 .

Example

设半径为 \(R\) 的球面 \(\Sigma\) 的球心在定球面 \(x^2+y^2+z^2=a^2\ (a>0)\) 上，问当 \(R\) 取何值时，球面 \(\Sigma\) 位于定球面内部的那部分面积最大？

Example

已知随机事件 \(A\) 的概率 \(P(A)=0.5\)，随机事件 \(B\) 的概率 \(P(B)=0.6\)，以及条件概率 \(P(B\mid A)=0.8\)，则 \(P(A\cup B)=\) ?

Example

甲、乙两人独立对同一目标射击一次，其命中率分别为 \(0.6\) 和 \(0.5\)，已知目标被击中，则它是甲击中的概率为 ？

Example

若随机变量 \(\xi\) 在 \((1,6)\) 上服从均匀分布，则方程 \(x^2+\xi x+1=0\) 有实根的概率为 ?

Example

设随机变量 \(X\) 与 \(Y\) 独立，且 \(X\) 服从均值为 \(1\)、标准差为 \(\sqrt{2}\) 的正态分布，而 \(Y\) 服从标准正态分布，试求随机变量 \(Z=2X-Y+3\) 的概率密度函数 .