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2002 年

第 1 题

Example

\(\displaystyle\int_{\mathrm{e}}^{+\infty}\frac{\mathrm{d}x}{x\ln^2 x}=\) ?

凑微分。

第 2 题

Example

已知函数 \(y=y(x)\) 由方程 \(\mathrm{e}^y+6xy+x^2-1=0\) 确定 , 则 \(y''(0)=\) ?

隐函数求导。

第 3 题

Example

微分方程 \(yy''+(y')^2=0\) 满足初始条件 \(\left.y\right|_{x=0}=1,\ \left.y'\right|_{x=0}=\dfrac{1}{2}\) 的特解是 ?

不显含 \(x\)，可令 \(y'=p\)，\(y''=\dfrac{p\mathrm{~d} p}{\mathrm{~d} y}\)；当然也可以直接凑，过程如下：

第 4 题

Example

已知实二次型 \(f(x_1,x_2,x_3)=a(x_1^2+x_2^2+x_3^2)+4x_1x_2+4x_1x_3+4x_2x_3\) 经正交变换 \(\boldsymbol{x}=\boldsymbol{P}\boldsymbol{y}\) 可化成标准形 \(f=6y_1^2\), 则 \(a=\) ?

相似于对角矩阵，根据二者迹相同求解即可。

第 5 题

Example

设随机变量 \(X\) 服从正态分布 \(N(\mu,\sigma^2)\ (\sigma>0)\), 且二次方程 \(y^2+4y+X=0\) 无实根的概率为 \(\dfrac{1}{2}\), 则 \(\mu=\) ?

判别式小于 \(0\)，结合正态分布的规范性即可。

第 6 题

Example

考虑二元函数 \(f(x,y)\) 的下面 \(4\) 条性质 :

(1) \(f(x,y)\) 在点 \((x_0,y_0)\) 处连续 ;

(2) \(f(x,y)\) 在点 \((x_0,y_0)\) 处的两个偏导数连续 ;

(3) \(f(x,y)\) 在点 \((x_0,y_0)\) 处可微 ;

(4) \(f(x,y)\) 在点 \((x_0,y_0)\) 处的两个偏导数存在 .

若用 ''\(P\Rightarrow Q\)'' 表示可由性质 \(P\) 推出性质 \(Q\), 则有 ?

(A) \((2)\Rightarrow(3)\Rightarrow(1)\).

(B) \((3)\Rightarrow(2)\Rightarrow(1)\).

(C) \((3)\Rightarrow(4)\Rightarrow(1)\).

(D) \((3)\Rightarrow(1)\Rightarrow(4)\).

复习关系图，选 A。

第 7 题

Example

设 \(u_n\neq 0\ (n=1,2,3,\cdots)\), 且 \(\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n}{u_n}=1\), 则级数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\left(\dfrac{1}{u_n}+\dfrac{1}{u_{n+1}}\right)\) ?

(A) 发散 .

(B) 绝对收敛 .

(C) 条件收敛 .

(D) 收敛性根据所给条件不能判定 .

好题。根据 \(\displaystyle \lim_{ n \to \infty } \frac{n}{u_{n}}=1\)，可知 \(u_{n}\sim n\)，注意这里的 \(\sim\) 并不是等价，毕竟 \(u_{n}\) 还可以取 \(n+(-1)^{n}\sqrt{ n }\) 也是符合题意的。因此不能直接使用莱布尼兹判别法，于是我们考虑部分和 \(S_{n}\) 极限是存在的，最终得到条件收敛。

第 8 题

Example

设函数 \(y=f(x)\) 在 \((0,+\infty)\) 内有界且可导 , 则 ?

(A) 当 \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=0\) 时 , 必有 \(\lim\limits_{x\to+\infty}f'(x)=0\).

(B) 当 \(\lim\limits_{x\to+\infty}f'(x)\) 存在时 , 必有 \(\lim\limits_{x\to+\infty}f'(x)=0\).

(C) 当 \(\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=0\) 时 , 必有 \(\lim\limits_{x\to0^+}f'(x)=0\).

(D) 当 \(\lim\limits_{x\to0^+}f'(x)\) 存在时 , 必有 \(\lim\limits_{x\to0^+}f'(x)=0\).

好题。有界函数判断导数极限类题型，反例就往三角函数想，取 \(f(x)=\sin x\) 排除 CD 选项；取 \(f(x)=\dfrac{\sin x^{2}}{x}\) 排除 A 选项。

B 选项考虑反证法：

第 9 题

Example

设有三个不同平面的方程 \(a_{i1}x+a_{i2}y+a_{i3}z=b_i,\ i=1,2,3\), 它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为 \(2\), 则这三张平面可能的位置关系为 ?

\(r(A)=r(\overline{A})=2<3\)，因此有无穷组解。

第 10 题

Example

设 \(X_1\) 和 \(X_2\) 是任意两个相互独立的连续型随机变量 , 它们的概率密度分别为 \(f_1(x)\) 和 \(f_2(x)\), 分布函数分别为 \(F_1(x)\) 和 \(F_2(x)\), 则 ?

(A) \(f_1(x)+f_2(x)\) 必为某一随机变量的概率密度 .

(B) \(f_1(x)f_2(x)\) 必为某一随机变量的概率密度 .

(C) \(F_1(x)+F_2(x)\) 必为某一随机变量的分布函数 .

(D) \(F_1(x)F_2(x)\) 必为某一随机变量的分布函数 .

好题。这个题在之后的数一真题中又出现过，可见其重要性之高。掌握概率密度和分布函数的性质，概率密度函数需要满足非负性（\(f(x)\geqslant 0\)）以及规范性（\(\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \mathrm{~d} x=1\)）；分布函数需要满足有界性、规范性、单调不减以及右连续。

根据性质依次判断四个选项即可。

这里补充一个常用的结论：

结论

设 \(F(x),G(x)\) 为分布函数，\(a,b\in \mathbb{R}\)，则：

  1. \(aF(x)+bG(x)\) 为分布函数 \(\iff\) \(a+b=1,a\geqslant 0,b\geqslant 0\)

  2. \(F(ax+b)\) 为分布函数 \(\iff\) \(a>0\)，\(b\) 没有要求

  3. \(F(x)\cdot G(x)\) 一定是分布函数

第 11 题

Example

设函数 \(f(x)\) 在 \(x=0\) 的某邻域内具有一阶连续导数 , 且 \(f(0)\neq 0,f'(0)\neq 0\), 若 \(af(h)+bf(2h)-f(0)\) 在 \(h\to 0\) 时是比 \(h\) 高阶的无穷小 , 试确定 \(a,b\) 的值 .

泰勒展开基础题。

第 12 题

Example

已知两曲线 \(y=f(x)\) 与 \(y=\displaystyle\int_{0}^{\arctan x}\mathrm{e}^{-t^2}\mathrm{d}t\) 在点 \((0,0)\) 处的切线相同 , 写出此切线方程 , 并求极限 \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}nf\left(\frac{2}{n}\right)\).

切线相同说明斜率相同，从而得到 \(f(0)=0,f'(0)=1\)。对待求极限凑导数定义即可。

第 13 题

Example

计算二重积分 \(\displaystyle\iint_D \mathrm{e}^{\max\{x^2,y^2\}}\mathrm{d}x\mathrm{d}y\), 其中 \(D=\{(x,y)\mid 0\leqslant x\leqslant 1,0\leqslant y\leqslant 1\}\).

分两个区域进行积分即可，根据定积分结果和积分变量无关可以得到两个积分区域上的积分结果是一样的，因此得以简化。

第 14 题

Example

设函数 \(f(x)\) 在 \((-\infty,+\infty)\) 内具有一阶连续导数 , \(L\) 是上半平面 \((y>0)\) 内的有向分段光滑曲线 , 其起点为 \((a,b)\), 终点为 \((c,d)\). 记

\[ I=\int_L \frac{1}{y}\big[1+y^2f(xy)\big]\mathrm{d}x+\frac{x}{y^2}\big[y^2f(xy)-1\big]\mathrm{d}y \]

(1) 证明曲线积分 \(I\) 与路径 \(L\) 无关 ;

(2) 当 \(ab=cd\) 时 , 求 \(I\) 的值 .

第一问验证恰当条件即可。

第二问，选择一条好积分的路径即可，选择方式有很多，我觉得题干给的条件 \(ab=cd\) 是希望你选择直线 \(xy=ab\)，代入发现确实计算量比较小。

第 15 题

Example

(1) 验证函数 \(\displaystyle y(x)=1+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^6}{6!}+\frac{x^9}{9!}+\cdots+\frac{x^{3n}}{(3n)!}+\cdots\ (-\infty<x<+\infty)\) 满足微分方程 \(y''+y'+y=\mathrm{e}^x\);

(2) 利用 (1) 的结果求幂级数 \(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{3n}}{(3n)!}\) 的和函数 .

事实上，没有第一问的提示也是可以直接解决第二问的，感兴趣的朋友可以参考往期文章：幂级数还能这样求和 ???

因为给了第一问的提示，所以这个题毫无难度，过程如下：

第 16 题

Example

设有一小山 , 取它的底面所在的平面为 \(xOy\) 坐标面 , 其底部所占的区域为 \(D=\{(x,y)\mid x^2+y^2-xy\leqslant 75\}\), 小山的高度函数为 \(h(x,y)=75-x^2-y^2+xy\).

(1) 设 \(M(x_0,y_0)\) 为区域 \(D\) 上一点 , 问 \(h(x,y)\) 在该点沿平面上什么方向的方向导数最大 ? 若记此方向导数的最大值为 \(g(x_0,y_0)\), 试写出 \(g(x_0,y_0)\) 的表达式 .

(2) 现欲利用此小山开展攀岩活动 , 为此需要在山脚寻找一上山坡度最大的点作为攀登的起点 . 也就是说 , 要在 \(D\) 的边界线 \(x^2+y^2-xy=75\) 上找出使 (1) 中的 \(g(x,y)\) 达到最大值的点 . 试确定攀登起点的位置 .

同济版高数课后题出处。

第一问，根据方向导数的最大值为梯度的模长，即可得到 \(g(x_{0},y_{0})\) 的表达式。

第二问，按照个人习惯，依旧不选择使用拉格朗日乘数法。第一个角度是考虑使用均值不等式放缩。

由于本题对应的曲线是旋转 \(45^\circ\) 的椭圆，因此可以考虑使用参数方程求最值。

第 17 题

Example

已知 4 阶方阵 \(\boldsymbol{A}=(\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3,\boldsymbol{\alpha}_4)\), \(\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3,\boldsymbol{\alpha}_4\) 均为 4 维列向量 , 其中 \(\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3,\boldsymbol{\alpha}_4\) 线性无关 , \(\boldsymbol{\alpha}_1=2\boldsymbol{\alpha}_2-\boldsymbol{\alpha}_3\). 如果 \(\boldsymbol{\beta}=\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3+\boldsymbol{\alpha}_4\), 求线性方程组 \(\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta}\) 的通解 .

根据解空间维度公式求出解空间维度为 1，因此只需要一个解向量即可构成齐次方程 \(Ax=0\) 的基础解系，根据条件 \(\alpha_{1}=2\alpha_{2}-\alpha_{3}\) 即可求出。另一方面，根据 \(\beta\) 的表达式可以得到非齐次方程 \(Ax=\beta\) 的一个特解，从而得到通解。

第 18 题

Example

设 \(A,B\) 为同阶方阵 ,

(1) 如果 \(A,B\) 相似 , 试证 \(A,B\) 的特征多项式相等 .

(2) 举一个 \(2\) 阶方阵的例子说明 (1) 的逆命题不成立 .

(3) 当 \(A,B\) 均为实对称矩阵时 , 试证 (1) 的逆命题成立 .

第一问，根据定义证明即可。

第二问，这个反例还是很好想的，第一遍学的时候一般都见过。

第三问，实对称矩阵一定可以相似对角化，再根据特征多项式相等，结合相似的传递性即可证明。

第 19 题

Example

设随机变量 \(X\) 的概率密度为

\[ f(x)= \begin{cases} \dfrac{1}{2}\cos\dfrac{x}{2}, & 0\leqslant x \leqslant \pi,\\[4pt] 0, & \text{其他}, \end{cases} \]

对 \(X\) 独立地重复观察 \(4\) 次 , 用 \(Y\) 表示观察值大于 \(\dfrac{\pi}{3}\) 的次数 , 求 \(Y^2\) 的数学期望 .

基础题。

第 20 题

Example

设总体 \(X\) 的概率分布为

\[ \begin{array}{c|cccc} X & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline P & \theta^2 & 2\theta(1-\theta) & \theta^2 & 1-2\theta \end{array} \]

其中 \(\theta\left(0<\theta<\dfrac{1}{2}\right)\) 是未知参数 , 利用总体 \(X\) 的如下样本值 $\(3,\ 1,\ 3,\ 0,\ 3,\ 1,\ 2,\ 3,\)$ 求 \(\theta\) 的矩估计值和最大似然估计值.

基础题，第一问别忘了把样本均值代入就行。

以上就是对于 2002 年数一真题的全部解答，本套题目最精彩的莫过于几道概念类题目了，包括 7、8、10 三个题，对于基础概念的考察比较深入，如概率密度函数和分布函数的性质等。大题部分都比较常规。

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