2009 年

Example

当 \(x \to 0\) 时 , \(f(x) = x - \sin ax\) 与 \(g(x) = x^2 \ln(1 - bx)\) 是等价无穷小量 , 则 ?

(A) \(a = 1,\, b = -\dfrac{1}{6}\).

(B) \(a = 1,\, b = \dfrac{1}{6}\).

(C) \(a = -1,\, b = -\dfrac{1}{6}\).

(D) \(a = -1,\, b = \dfrac{1}{6}\).

Example

如图 , 正方形 \(\{(x,y)\mid |x|\leqslant 1,\,|y|\leqslant 1\}\) 被其对角线划分为四个区域 \(D_k\ (k=1,2,3,4)\), \(I_k=\displaystyle\iint_{D_k} y\cos x\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y\), 则 \(\max\limits_{1\leqslant k\leqslant 4}\{I_k\} =\) ?

(A) \(I_1\).

(B) \(I_2\).

(C) \(I_3\).

(D) \(I_4\).

Example

设函数 \(y = f(x)\) 在区间 \([-1,3]\) 上的图形如右图所示 , 则函数

的图形为 ?

Example

设有两个数列 \(\{a_n\},\{b_n\}\), 若 \(\lim\limits_{n\to\infty} a_n = 0\), 则 ?

(A) 当 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} b_n\) 收敛时 , \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n b_n\) 收敛 .

(B) 当 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} b_n\) 发散时 , \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n b_n\) 发散 .

(C) 当 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} |b_n|\) 收敛时 , \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n^2 b_n^2\) 收敛 .

(D) 当 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} |b_n|\) 发散时 , \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n^2 b_n^2\) 发散 .

Example

设 \(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\) 是 \(3\) 维向量空间 \(\mathbb{R}^3\) 的一组基 , 则由基 \(\alpha_1,\dfrac{1}{2}\alpha_2,\dfrac{1}{3}\alpha_3\) 到基 \(\alpha_1+\alpha_2,\alpha_2+\alpha_3,\alpha_3+\alpha_1\) 的过渡矩阵为 ?

(A) \(\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\ 2 & 2 & 0\\ 0 & 3 & 3 \end{pmatrix}\).

(B) \(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0\\ 0 & 2 & 3\\ 1 & 0 & 3 \end{pmatrix}\).

(C) \(\begin{pmatrix} \dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{4} & -\dfrac{1}{6}\\[4pt] -\dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{4} & \dfrac{1}{6}\\[4pt] \dfrac{1}{2} & -\dfrac{1}{4} & \dfrac{1}{6} \end{pmatrix}\).

(D) \(\begin{pmatrix} \dfrac{1}{2} & -\dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{2}\\[4pt] \dfrac{1}{4} & \dfrac{1}{4} & -\dfrac{1}{4}\\[4pt] -\dfrac{1}{6} & \dfrac{1}{6} & \dfrac{1}{6} \end{pmatrix}\).

Example

设 \(A,B\) 均为 \(2\) 阶矩阵 , \(A^*,B^*\) 分别为 \(A,B\) 的伴随矩阵 , 若 \(|A|=2,\,|B|=3\), 则分块矩阵 \(\begin{pmatrix} O & A\\ B & O \end{pmatrix}\) 的伴随矩阵为 ?

(A) \(\begin{pmatrix} O & 3B^*\\ 2A^* & O \end{pmatrix}\).

(B) \(\begin{pmatrix} O & 2B^*\\ 3A^* & O \end{pmatrix}\).

(C) \(\begin{pmatrix} O & 3A^*\\ 2B^* & O \end{pmatrix}\).

(D) \(\begin{pmatrix} O & 2A^*\\ 3B^* & O \end{pmatrix}\).

Example

设随机变量 \(X\) 的分布函数为 \(F(x) = 0.3\Phi(x) + 0.7\Phi\left(\dfrac{x-1}{2}\right)\), 其中 \(\Phi(x)\) 为标准正态分布的分布函数 , 则 \(E(X) = (\quad)\)

(A) \(0\).

(B) \(0.3\).

(C) \(0.7\).

(D) \(1\).

Example

设随机变量 \(X\) 与 \(Y\) 相互独立 , 且 \(X\) 服从标准正态分布 \(N(0,1)\), \(Y\) 的概率分布为

记 \(F_Z(z)\) 为随机变量 \(Z=XY\) 的分布函数 , 则函数 \(F_Z(z)\) 的间断点个数为 ?

(A) \(0\).

(B) \(1\).

(C) \(2\).

(D) \(3\).

Example

设函数 \(f(u,v)\) 具有二阶连续偏导数 , \(z=f(x,xy)\), 则 \(\dfrac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}=\) ?

Example

若二阶常系数线性齐次微分方程 \(y''+ay'+by=0\) 的通解为 \(y=(C_1+C_2 x)e^x\), 则非齐次方程 \(y''+ay'+by=x\) 满足条件 \(y(0)=2,y'(0)=0\) 的解为 \(y=\) ?

Example

已知曲线 \(L:y=x^2\ (0\leqslant x\leqslant \sqrt{2})\), 则 \(\displaystyle\int_L x\,\mathrm{d}s=\underline{\qquad\qquad}\).

Example

设 \(\Omega=\{(x,y,z)\mid x^2+y^2+z^2\leqslant 1\}\), 则 \(\displaystyle\iiint_\Omega z^2\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z=\) ?

Example

若 \(3\) 维列向量 \(\alpha,\beta\) 满足 \(\alpha^\mathrm{T}\beta=2\), 其中 \(\alpha^\mathrm{T}\) 为 \(\alpha\) 的转置 , 则矩阵 \(\beta\alpha^\mathrm{T}\) 的非零特征值为 ?

Example

设 \(X_1,X_2,\dots,X_m\) 为来自二项分布总体 \(B(n,p)\) 的简单随机样本 , \(\overline{X}\) 和 \(S^2\) 分别为样本均值和样本方差 , 若 \(\overline{X}+kS^2\) 为 \(np^2\) 的无偏估计量 , 则 \(k=\) ?

Example

求二元函数 \(f(x,y)=x^2(2+y^2)+y\ln y\) 的极值 .

Example

设 \(a_n\) 为曲线 \(y=x^n\) 与 \(y=x^{n+1}\ (n=1,2,\dots)\) 所围成区域的面积 , 记 \(S_1=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n,\ S_2=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_{2n-1}\), 求 \(S_1\) 与 \(S_2\) 的值 .

Example

椭球面 \(S_1\) 是椭圆 \(\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=1\) 绕 \(x\) 轴旋转而成 , 圆锥面 \(S_2\) 是由过点 \((4,0)\) 且与椭圆 \(\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=1\) 相切的直线绕 \(x\) 轴旋转而成 .

(1) 求 \(S_1\) 及 \(S_2\) 的方程 ;

(2) 求 \(S_1\) 与 \(S_2\) 之间的立体的体积 .

Example

(1) 证明拉格朗日中值定理 : 若函数 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上连续 , 在 \((a,b)\) 内可导 , 则存在 \(\xi\in(a,b)\), 使得 \(f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)\).

(2) 证明 : 若函数 \(f(x)\) 在 \(x=0\) 处连续 , 在 \((0,\delta)\ (\delta>0)\) 内可导 , 且 \(\displaystyle\lim_{x\to 0^+}f'(x)=A\), 则 \(f'_+(0)\) 存在 , 且 \(f'_+(0)=A\).

Example

计算曲面积分

其中 \(\Sigma\) 是曲面 \(2x^2+2y^2+z^2=4\) 的外侧 .

Example

设

(1) 求满足 \(A\xi_2=\xi_1,\ A^2\xi_3=\xi_1\) 的所有向量 \(\xi_2,\xi_3\);

(2) 对 (1) 中的任意向量 \(\xi_2,\xi_3\), 证明 \(\xi_1,\xi_2,\xi_3\) 线性无关 .

Example

设二次型 \(f(x_1,x_2,x_3)=a x_1^2+a x_2^2+(a-1)x_3^2+2x_1x_3-2x_2x_3\).

(1) 求二次型 \(f\) 的矩阵的所有特征值 ;

(2) 若二次型 \(f\) 的规范形为 \(y_1^2+y_2^2\), 求 \(a\) 的值 .

Example

袋中有 \(1\) 个红球、\(2\) 个黑球与 \(3\) 个白球 . 有放回地从袋中取两次 , 每次取一个球 . 以 \(X,Y,Z\) 分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数 .

(1) 求 \(P\{X=1\mid Z=0\}\);

(2) 求二维随机变量 \((X,Y)\) 的概率分布 .

Example

设总体 \(X\) 的概率密度为

其中参数 \(\lambda(\lambda>0)\) 未知 , \(X_1,X_2,\dots,X_n\) 是来自总体 \(X\) 的简单随机样本 .

(1) 求参数 \(\lambda\) 的矩估计量 ;

(2) 求参数 \(\lambda\) 的最大似然估计量 .