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2021 年

第 1 题

Example

函数

\[ f(x)= \begin{cases} \dfrac{\mathrm{e}^x-1}{x}, & x\neq 0,\\[4pt] 1, & x=0 \end{cases} \]

在 \(x=0\) 处 ?

(A) 连续且取得极大值

(B) 连续且取得极小值

(C) 可导且导数等于零

(D) 可导且导数不为零

根据定义判断即可，选 D。

第 2 题

Example

设函数 \(f(x,y)\) 可微，且 \(f(x+1,\mathrm{e}^x)=x(x+1)^2,\ f(x,x^2)=2x^2\ln x\)，则 \(\mathrm{d}f(1,1)=\) ?

(A) \(\mathrm{d}x+\mathrm{d}y\)

(B) \(\mathrm{d}x-\mathrm{d}y\)

(C) \(\mathrm{d}y\)

(D) \(-\mathrm{d}y\)

选 C。两个方程都对 \(x\) 求导并赋值，得到方程组求解即可。

第 3 题

Example

设函数 \(f(x)=\dfrac{\sin x}{1+x^2}\) 在 \(x=0\) 处的 \(3\) 次泰勒多项式为 \(ax+bx^2+cx^3\)，则 ?

(A) \(a=1,\,b=0,\,c=-\dfrac{7}{6}\)

(B) \(a=1,\,b=0,\,c=\dfrac{7}{6}\)

(C) \(a=-1,\,b=-1,\,c=-\dfrac{7}{6}\)

(D) \(a=-1,\,b=-1,\,c=\dfrac{7}{6}\)

选 A。泰勒的简单应用。

第 4 题

Example

设函数 \(f(x)\) 在区间 \([0,1]\) 上连续，则 \(\displaystyle\int_{0}^{1}f(x)\mathrm{d}x=\) ?

(A) \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}f\left(\frac{2k-1}{2n}\right)\frac{1}{2n}\)

(B) \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}f\left(\frac{2k-1}{2n}\right)\frac{1}{n}\)

(C) \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{2n}f\left(\frac{k-1}{2n}\right)\frac{1}{n}\)

(D) \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{2n}f\left(\frac{k}{2n}\right)\frac{2}{n}\)

选 B，深刻考察定积分的定义“分割、近似、求和，取极限”。首先在考场上的最优解是直接取 \(f(x)\equiv 1\) 排除 ACD 选 B 走人。

下面介绍常规方法，一共分三步走：

  1. 整理和式，提出 \(\frac{1}{n}\) 并找到 \(f(\xi_{i})\)；
  2. 确定积分上下限，即确定 \(n\to \infty\) 时变化量 \(\xi_{i}\) 的范围 \([a,b]\)；
  3. 确定步长（调整 \(\frac{1}{n}\) 的系数）：\(\frac{b-a}{小区间个数}\)，也就是 \(\Delta \xi_{i}\).

过程如下：

第 5 题

Example

设二次型 \(f(x_1,x_2,x_3)=(x_1+x_2)^2+(x_2+x_3)^2-(x_3-x_1)^2\) 的正惯性指数与负惯性指数依次为 ?

(A) \(2,0\)

(B) \(1,1\)

(C) \(2,1\)

(D) \(1,2\)

选 B。直接三个括号分别换元并不是可逆线性变换，因此只能使用常规方法。

第 6 题

Example

已知

\[ \boldsymbol{\alpha}_1=\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix},\boldsymbol{\alpha}_2=\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix},\boldsymbol{\alpha}_3=\begin{pmatrix}3\\1\\2\end{pmatrix},\ \boldsymbol{\beta}_1=\boldsymbol{\alpha}_1,\ \boldsymbol{\beta}_2=\boldsymbol{\alpha}_2-k\boldsymbol{\beta}_1,\ \boldsymbol{\beta}_3=\boldsymbol{\alpha}_3-l_1\boldsymbol{\beta}_1-l_2\boldsymbol{\beta}_2, \]

若 \(\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_2,\boldsymbol{\beta}_3\) 两两相交，则 \(l_1,l_2\) 依次为 ?

(A) \(\dfrac{5}{2},\dfrac{1}{2}\)

(B) \(-\dfrac{5}{2},\dfrac{1}{2}\)

(C) \(\dfrac{5}{2},-\dfrac{1}{2}\)

(D) \(-\dfrac{5}{2},-\dfrac{1}{2}\)

选 A。直接考察 \(\mathrm{Gram-Schmit}\) 正交化。

第 7 题

Example

设 \(A,B\) 为 \(n\) 阶实矩阵，下列结论不成立的是 ?

(A) \(r\begin{pmatrix}A & O\\O & A^\mathrm{T}A\end{pmatrix}=2r(A)\)

(B) \(r\begin{pmatrix}A & AB\\O & A^\mathrm{T}\end{pmatrix}=2r(A)\)

(C) \(r\begin{pmatrix}A & BA\\O & AA^\mathrm{T}\end{pmatrix}=2r(A)\)

(D) \(r\begin{pmatrix}A & O\\BA & A^\mathrm{T}\end{pmatrix}=2r(A)\)

选 C。考察分块初等变换。

第 8 题

Example

设 \(A,B\) 为随机事件，且 \(0<P(B)<1\)，下列命题中为假命题的是 ?

(A) 若 \(P(A\mid B)=P(A)\)，则 \(P\left(A\mid \overline{B}\right)=P(A)\)

(B) 若 \(P(A\mid B)>P(A)\)，则 \(P\left(\overline{A}\mid \overline{B}\right)>P\left(\overline{A}\right)\)

(C) 若 \(P(A\mid B)>P\left(A\mid \overline{B}\right)\)，则 \(P(A\mid B)>P(A)\)

(D) 若 \(P(A\mid A\cup B)>P\left(\overline{A}\mid A\cup B\right)\)，则 \(P(A)>P(B)\)

选 D。前三个选项根据定义推导即可，过程如下

而 D 选项只能得到 \(P(A)>P(B\overline{A})\)，并不能推出 \(P(A)>P(B)\).

第 9 题

Example

设 \((X_1,Y_1),(X_2,Y_2),\cdots,(X_n,Y_n)\) 为来自总体 \(N\left(\mu_1,\mu_2;\sigma_1^2,\sigma_2^2;\rho\right)\) 的简单随机样本，令 \(\displaystyle\theta=\mu_1-\mu_2,\displaystyle\overline{X}=\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n X_i,\displaystyle\overline{Y}=\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n Y_i,\hat{\theta}=\overline{X}-\overline{Y}\)，则 ?

(A) \(\hat{\theta}\) 是 \(\theta\) 的无偏估计，\(D(\hat{\theta})=\dfrac{\sigma_1^2+\sigma_2^2}{n}\)

(B) \(\hat{\theta}\) 不是 \(\theta\) 的无偏估计，\(D(\hat{\theta})=\dfrac{\sigma_1^2+\sigma_2^2}{n}\)

(C) \(\hat{\theta}\) 是 \(\theta\) 的无偏估计，\(D(\hat{\theta})=\dfrac{\sigma_1^2+\sigma_2^2-2\rho\sigma_1\sigma_2}{n}\)

(D) \(\hat{\theta}\) 不是 \(\theta\) 的无偏估计，\(D(\hat{\theta})=\dfrac{\sigma_1^2+\sigma_2^2-2\rho\sigma_1\sigma_2}{n}\)

选 C。首先根据无偏性的定义验证无偏性；然后根据方程的性质求解，注意计算 \(\operatorname{Cov}(\overline{X}, \overline{Y})\) 的时候拆开进行计算，利用不同样本之间相互独立（\(\operatorname{Cov}(X_{i}, Y_{j})=0,i\neq j\)），以及二维正态 \(\operatorname{Cov}(X_{i},Y_{i})=\rho\sigma_{1}\sigma_{2}\) 即可得到结论。

第 10 题

Example

设 \(X_1,X_2,\cdots,X_{16}\) 是来自总体 \(N(\mu,4)\) 的简单随机样本，考虑假设检验问题：

\(H_0:\mu\leqslant 10,\ H_1:\mu>10\)，\(\Phi(x)\) 表示标准正态分布函数，若该检验问题的拒绝域为 \(W=\{\overline{X}\geqslant 11\}\)，其中 \(\displaystyle\overline{X}=\dfrac{1}{16}\sum\limits_{i=1}^{16}X_i\)，则 \(\mu=11.5\) 时，该检验犯第二类错误的概率为 ?

(A) \(1-\Phi(0.5)\)

(B) \(1-\Phi(1)\)

(C) \(1-\Phi(1.5)\)

(D) \(1-\Phi(2)\)

选 B。假设检验，第一类错误为“弃真”，即 \(\alpha= P\left\{ 拒绝H_{0} \mid H_{0}成立 \right\}\)，也被称为“显著性水平”；第二类错误为“取伪”，即 \(\beta=P\left\{ 接受H_{0} \mid H_{1}成立 \right\}\)。题目求的是在 \(\mu=11.5\) 也就是 \(H_{1}\) 成立的情况下，接受 \(H_{0}\) 的概率，注意这里的 \(H_{0}\) 并不是题目给的 \(H_{0}\)，是拒绝域的对立事件。

第 11 题

Example

\(\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\frac{\mathrm{d}x}{x^2+2x+2}=\) ?

配方套公式。

第 12 题

Example

设函数 \(y=y(x)\) 由参数方程

\[ \begin{cases} x=2\mathrm{e}^t+t+1,\\ y=4(t-1)\mathrm{e}^t+t^2 \end{cases} \]

所确定，则 \(\left.\dfrac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}\right|_{t=0}=\) ?

参数方程求导。

第 13 题

Example

欧拉方程 \(x^2y''+xy'-4y=0\) 满足条件 \(y(1)=1,\,y'(1)=2\) 的解为 \(y=\) ?

2004 年数一第 4 题首次考察欧拉方程，纯套路题。

第 14 题

Example

设 \(\Sigma\) 为空间区域 \(\{(x,y,z)\mid x^2+4y^2\leqslant 4,\,0\leqslant z\leqslant 2\}\) 表面的外侧，则曲面积分

\[ \displaystyle\iint\limits_{\Sigma} x^2\mathrm{d}y\mathrm{d}z+y^2\mathrm{d}z\mathrm{d}x+z\mathrm{d}x\mathrm{d}y= ? \]

直接运用高斯公式，注意对称性的运用。

第 15 题

Example

设 \(\boldsymbol{A}=(a_{ij})\) 为 3 阶矩阵，\(A_{ij}\) 为代数余子式，若 \(\boldsymbol{A}\) 的每行元素之和均为 2，且 \(|\boldsymbol{A}|=3\)，则 \(A_{11}+A_{21}+A_{31}=\) ?

都加到第一列上，然后按照第一列展开即可。

第 16 题

Example

甲、乙两个盒子中各装有 2 个红球和 2 个白球，先从甲盒中任取一球，观察颜色后放入乙盒中，再从乙盒中任取一球，令 \(X,Y\) 分别表示从甲盒和乙盒中取到的红球个数，则 \(X\) 与 \(Y\) 的相关系数为 ?

除了相关系数的公式外均为高中知识。

第 17 题

Example

求极限

\[ \displaystyle\lim_{x\to 0}\left( \frac{1+\displaystyle\int_{0}^{x}\mathrm{e}^{t^2}\mathrm{d}t}{\mathrm{e}^x-1}-\frac{1}{\sin x} \right). \]

21 年为新大纲的第一年，高数缩减到了 4 到大题，在这种情况下还专门拿出一道大题来考察极限，可见命题人对极限是很重视的。

本题通分之后时间泰勒展开即可，当然一直洛也是能做出来的。

第 18 题

Example

设 \(u_n(x)=\mathrm{e}^{-nx}+\dfrac{x^{n+1}}{n(n+1)}\ (n=1,2,\cdots)\)，求级数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}u_n(x)\) 的收敛域及和函数。

拆成三个幂级数求和，后两个直接运用泰勒；注意 \(x=1\) 处的情况。

第 19 题

Example

已知曲线 \(C:\)

\[ \begin{cases} x^2+2y^2-z=6,\\ 4x+2y+z=30, \end{cases} \]

求 \(C\) 上的点到 \(xOy\) 坐标面距离的最大值。

高中题，和 2008 年数一第 17 题完全一致，直接柯西不等式。

第 20 题

Example

设 \(D\subset \mathbb{R}^2\) 是有界单连通闭区域，\(\displaystyle I(D)=\iint\limits_D \big(4-x^2-y^2\big)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\) 取得最大值的积分区域为 \(D_1\).

(1) 求 \(I(D_1)\) 的值 ;

(2) 计算 \(\displaystyle\oint_{\partial D_1}\frac{\big(x\mathrm{e}^{x^2+4y^2}+y\big)\mathrm{d}x+\big(4y\mathrm{e}^{x^2+4y^2}-x\big)\mathrm{d}y}{x^2+4y^2}\)，其中 \(\partial D_1\) 是 \(D_1\) 的正向边界。

第一问使用极坐标计算一个简单的二重积分。

第二问，挖洞法。

第 21 题

Example

已知

\[ \boldsymbol{A}= \begin{pmatrix} a & 1 & -1\\ 1 & a & -1\\ -1 & -1 & a \end{pmatrix}. \]

(1) 求正交矩阵 \(\boldsymbol{P}\)，使得 \(\boldsymbol{P}^\mathrm{T}\boldsymbol{A}\boldsymbol{P}\) 为对角矩阵 ;

(2) 求正定矩阵 \(\boldsymbol{C}\)，使得 \(\boldsymbol{C}^2=(a+3)\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}\).

第一问，常规题。

第二问，代入第一问得到的 \(A=P\Lambda P^{T}\) 得到 \(C^{2}\) 合同于对角阵，从而得到特征值，开方得到 \(C\) 的特征值，于是 \(C=P \cdot\mathrm{diag}\left\{ 1,2,2 \right\}\cdot P^{T}\)。在计算过程中将 \(P\) 列分块后计算会极大减少计算量，避免求 \(P^{-1}\)。

第 22 题

Example

在区间 \((0,2)\) 上随机取一点，将该区间分成两段，较短一段的长度为 \(X\)，较长一段的长度为 \(Y\)，令 \(Z=\dfrac{Y}{X}\).

(1) 求 \(X\) 的概率密度 ;

(2) 求 \(Z\) 的概率密度 ;

(3) 求 \(E\left(\dfrac{X}{Y}\right)\).

第一问，考察 \(X\) 服从的分布，我们将随机取点的位置设为 \(T\sim U(0,2)\)，据此证明即可。事实上 \(X\sim U(0,1)\)；\(Y\sim U(1,2)\)。

第二问，化为 \(X\) 计算。

第三问，送分题。

以上就是对于 2021 年数一真题的全部解答，新考纲的第一年，整体题目偏基础，这套卷子给我一种做 2000 年之前真题试卷的感觉，文艺复兴说是 (hhh)。第 4 题深刻考察定积分的定义；第 7 题考察分块初等变换，分块矩阵确实是近几年的热门考点；第 10 题考察两类错误；第 17 题是一道非常好的极限题目；第 21 题第二问很值得练习。

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