1996 年

Example

设 \(\lim\limits_{x\to\infty}\left(\dfrac{x+2a}{x-a}\right)^x=8\)，则 \(a=\) ?

Example

设一平面经过原点及点 \((6,-3,2)\)，且与平面 \(4x-y+2z=8\) 垂直，则此平面方程为 ?

Example

微分方程 \(y''-2y'+2y=\mathrm{e}^x\) 的通解为 ?

Example

函数 \(u=\ln\left(x+\sqrt{y^2+z^2}\right)\) 在点 \(A(1,0,1)\) 处沿点 \(A\) 指向点 \(B(3,-2,2)\) 方向的方向导数为 ?

Example

设 \(A\) 是 \(4\times 3\) 矩阵，且 \(A\) 的秩 \(r(A)=2\)，而 \(\boldsymbol{B}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 3 \end{pmatrix}\)，则 \(r(AB)=\) ?

Example

已知 \(\dfrac{(x+ay)\mathrm{d}x+y\mathrm{d}y}{(x+y)^2}\) 为某函数的全微分，则 \(a\) 等于 ?

(A) \(-1\)

(B) \(0\)

(C) \(1\)

(D) \(2\)

Example

设 \(f(x)\) 有二阶连续导数，且 \(f'(0)=0\)，\(\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{f''(x)}{|x|}=1\)，则 ?

(A) \(f(0)\) 是 \(f(x)\) 的极大值

(B) \(f(0)\) 是 \(f(x)\) 的极小值

(C) \((0,f(0))\) 是曲线 \(y=f(x)\) 的拐点

(D) \(f(0)\) 不是 \(f(x)\) 的极值，\((0,f(0))\) 也不是曲线 \(y=f(x)\) 的拐点

Example

设 \(a_n > 0\ (n=1,2,\cdots)\)，且 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n\) 收敛，常数 \(\lambda\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)\)，则级数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \left(n\tan\frac{\lambda}{n}\right)a_{2n}\) ?

(A) 绝对收敛

(B) 条件收敛

(C) 发散

(D) 收敛性与 \(\lambda\) 有关

Example

设 \(f(x)\) 有连续导数，\(f(0)=0,\ f'(0)\neq 0\)，\(\displaystyle F(x)=\int_{0}^{x}(x^2-t^2)f(t)\mathrm{d}t\)，且当 \(x\to 0\) 时，\(F'(x)\) 与 \(x^k\) 是同阶无穷小，则 \(k\) 等于 ?

(A) \(1\)

(B) \(2\)

(C) \(3\)

(D) \(4\)

Example

\(4\) 阶行列式 \(\begin{vmatrix} a_1 & 0 & 0 & b_1 \\ 0 & a_2 & b_2 & 0 \\ 0 & b_3 & a_3 & 0 \\ b_4 & 0 & 0 & a_4 \end{vmatrix}\) 的值等于 ?

(A) \(a_1a_2a_3a_4-b_1b_2b_3b_4\)

(B) \(a_1a_2a_3a_4+b_1b_2b_3b_4\)

(C) \((a_1a_2-b_1b_2)(a_3a_4-b_3b_4)\)

(D) \((a_2a_3-b_2b_3)(a_1a_4-b_1b_4)\)

Example

求心形线 \(r=a(1+\cos\theta)\) 的全长，其中 \(a>0\) 是常数。

Example

设 \(x_1=10,\ x_{n+1}=\sqrt{6+x_n}\ (n=1,2,\cdots)\)，试证数列 \(\{x_n\}\) 极限存在，并求此极限。

Example

计算曲面积分 \(\displaystyle\iint_S (2x+z)\mathrm{d}y\mathrm{d}z+z\mathrm{d}x\mathrm{d}y\)，其中 \(S\) 为有向曲面 \(z=x^2+y^2\ (0\leqslant z\leqslant 1)\)，其法向量与 \(z\) 轴正向的夹角为锐角。

Example

设变换 \(\begin{cases} u=x-2y,\\ v=x+ay \end{cases}\) 可把方程 \(\displaystyle 6\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}-\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}=0\) 化简为 \(\displaystyle \frac{\partial^2 z}{\partial u\partial v}=0\)，求常数 \(a\)，其中 \(z=z(x,y)\) 有二阶连续的偏导数。

Example

求级数 \(\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{(n^2-1)2^n}\) 的和。

Example

设对任意的 \(x>0\)，曲线 \(y=f(x)\) 上点 \((x,f(x))\) 处的切线在 \(y\) 轴上的截距等于 \(\displaystyle\frac{1}{x}\int_{0}^{x}f(t)\mathrm{d}t\)，求 \(f(x)\) 的一般表达式。

Example

设 \(f(x)\) 在 \([0,1]\) 上具有二阶导数，且满足条件：\(|f(x)|\leqslant a,\ |f''(x)|\leqslant b\)，其中 \(a,b\) 都是非负常数，\(c\) 为 \((0,1)\) 内任意一点。

(1) 写出 \(f(x)\) 在点 \(x=c\) 处带拉格朗日余项的一阶泰勒公式；

(2) 证明：\(\displaystyle|f'(c)|\leqslant 2a+\frac{b}{2}\)。

Example

设 \(A = E - \xi\xi^\mathrm{T}\)，其中 \(E\) 是 \(n\) 阶单位矩阵，\(\xi\) 是 \(n\) 维非零列向量，\(\xi^\mathrm{T}\) 是 \(\xi\) 的转置，证明：

(1) \(A^2 = A\) 的充分必要条件是 \(\xi^\mathrm{T}\xi = 1\)；

(2) 当 \(\xi^\mathrm{T}\xi = 1\) 时，\(A\) 是不可逆矩阵。

Example

已知二次型 \(f(x_1,x_2,x_3) = 5x_1^2 + 5x_2^2 + cx_3^2 - 2x_1x_2 + 6x_1x_3 - 6x_2x_3\) 的秩为 \(2\).

(1) 求参数 \(c\) 的值及此二次型对应矩阵的特征值；

(2) 指出方程 \(f(x_1,x_2,x_3)=1\) 表示何种二次曲面。

Example

设工厂 \(A\) 和工厂 \(B\) 的产品的次品率分别为 \(1\%\) 和 \(2\%\)，现从由 \(A\) 厂和 \(B\) 厂的产品分别占 \(60\%\) 和 \(40\%\) 的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，则该次品属于 \(A\) 厂生产的概率为 ?

Example

设 \(\xi,\eta\) 是两个相互独立且均服从正态分布 \(N\left(0,\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^2\right)\) 的随机变量，则随机变量 \(|\xi-\eta|\) 的数学期望 \(E(|\xi-\eta|)=\) ?

Example

设 \(\xi,\eta\) 是相互独立且都服从同一分布的两个随机变量，且 \(\xi\) 的分布律为 \(P\{\xi=i\}=\dfrac{1}{3}\ (i=1,2,3)\)，又设 \(X=\max\{\xi,\eta\},\ Y=\min\{\xi,\eta\}\).

(1) 写出二维随机变量 \((X,Y)\) 的分布律 :

(2) 求随机变量 \(X\) 的数学期望 \(E(X)\).