有趣积分
Example
设 \(\displaystyle p(x)=1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\dots+\frac{x^{n}}{n!}\)，计算 \(\displaystyle \int \frac{x^{n}}{p(x)}\mathrm{~d} x\).
因为 \(\displaystyle p'(x)=1+x+\dots+\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}\)，所以有如下恒等式：
\[
p(x)-p'(x) = \frac{x^{n}}{n!}
\]
则可用此式化简原积分分子：
\[
\begin{aligned}
\int \frac{x^{n}}{p(x)}\mathrm{~d} x &= \int \frac{n!(p(x)-p'(x))}{p(x)}\mathrm{~d} x\\
&= n!\int \mathrm{~d} x - n!\int \frac{p'(x)}{p(x)}\mathrm{~d} x\\
&= n!x-n!\ln |p(x)|+C
\end{aligned}
\]
- 更多精彩内容欢迎关注我的微信公众号！
搜一搜
