2016 年
第 1 题 ¶
Example
若反常积分 \(\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\frac{1}{x^a(1+x)^b}\mathrm{d}x\) 收敛，则 ?
(A) \(a<1\) 且 \(b>1\).
(B) \(a>1\) 且 \(b>1\).
(C) \(a<1\) 且 \(a+b>1\).
(D) \(a>1\) 且 \(a+b>1\).
分 \(x\to 0\) 和 \(x\to +\infty\) 讨论即可，选 C。
第 2 题 ¶
Example
已知函数
则 \(f(x)\) 的一个原函数是 ?
(A) \(F(x)= \begin{cases} (x-1)^2, & x < 1,\\ x(\ln x-1), & x\geqslant 1. \end{cases}\)
(B) \(F(x)= \begin{cases} (x-1)^2, & x < 1,\\ x(\ln x+1)-1, & x\geqslant 1. \end{cases}\)
(C) \(F(x)= \begin{cases} (x-1)^2, & x < 1,\\ x(\ln x+1)+1, & x\geqslant 1. \end{cases}\)
(D) \(F(x)= \begin{cases} (x-1)^2, & x < 1,\\ x(\ln x-1)+1, & x\geqslant 1. \end{cases}\)
积分求出原函数，根据连续性得到两端任意常数之间的关系即可。选 D。
第 3 题 ¶
Example
若 \(y=(1+x^2)^2-\sqrt{1+x^2},\ y=(1+x^2)^2+\sqrt{1+x^2}\) 是微分方程 \(y'+p(x)y=q(x)\) 的两个解，则 \(q(x)=\) ?
(A) \(3x(1+x^2)\).
(B) \(-3x(1+x^2)\).
(C) \(\dfrac{x}{1+x^2}\).
(D) \(-\dfrac{x}{1+x^2}\).
两个非齐次的特解作差可以得到齐次的解，代入即可求出 \(p(x)\)；为了方便计算我们可以将 \((y_{1}+y_{2})/2\) 作为新的非齐次解代入求解 \(q(x)\)。当然直接代入 \(y_{1}\) 或者 \(y_{2}\) 来求解 \(q(x)\) 也是可以的，就是计算量比较大。选 A。
第 4 题 ¶
Example
已知函数
则 ?
(A) \(x=0\) 是 \(f(x)\) 的第一类间断点 .
(B) \(x=0\) 是 \(f(x)\) 的第二类间断点 .
(C) \(f(x)\) 在 \(x=0\) 处连续但不可导 .
(D) \(f(x)\) 在 \(x=0\) 处可导 .
选 D。过程如下：
第 5 题 ¶
Example
设 \(A,B\) 是可逆矩阵，且 \(A\) 与 \(B\) 相似，则下列结论错误的是 ?
(A) \(A^\mathrm{T}\) 与 \(B^\mathrm{T}\) 相似 .
(B) \(A^{-1}\) 与 \(B^{-1}\) 相似 .
(C) \(A+A^\mathrm{T}\) 与 \(B+B^\mathrm{T}\) 相似 .
(D) \(A+A^{-1}\) 与 \(B+B^{-1}\) 相似 .
根据相似得到 \(P^{-1}AP=B\)，然后逐个选项验证即可，选 C。
第 6 题 ¶
Example
设二次型 \(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+x_2^2+x_3^2+4x_1x_2+4x_1x_3+4x_2x_3\)，则 \(f(x_1,x_2,x_3)=2\) 在空间直角坐标下表示的二次曲面为 ?
(A) 单叶双曲面 .
(B) 双叶双曲面 .
(C) 椭球面 .
(D) 柱面 .
求出标准型即可，选 B。
第 7 题 ¶
Example
设随机变量 \(X\sim N(\mu,\sigma^2)\ (\sigma>0)\)，记 \(p=P\{X\leqslant \mu+\sigma^2\}\)，则 ?
(A) \(p\) 随着 \(\mu\) 的增加而增加 .
(B) \(p\) 随着 \(\sigma\) 的增加而增加 .
(C) \(p\) 随着 \(\mu\) 的增加而减少 .
(D) \(p\) 随着 \(\sigma\) 的增加而减少 .
标准化，根据分布函数的单调性即可得到答案，选 B。
第 8 题 ¶
Example
随机试验 \(E\) 有三种两两不相容的结果 \(A_1,A_2,A_3\)，且三种结果发生的概率均为 \(\dfrac{1}{3}\)，将试验 \(E\) 独立重复做 \(2\) 次，\(X\) 表示 \(2\) 次试验中结果 \(A_1\) 发生的次数，\(Y\) 表示 \(2\) 次试验中结果 \(A_2\) 发生的次数，则 \(X\) 与 \(Y\) 的相关系数为 ?
(A) \(-\dfrac{1}{2}\).
(B) \(-\dfrac{1}{3}\).
(C) \(\dfrac{1}{3}\).
(D) \(\dfrac{1}{2}\).
两个随机变量都服从二项分布，根据定义计算即可。选 A。
第 9 题 ¶
Example
\(\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\displaystyle\int_{0}^{x}t\ln(1+t\sin t)\,\mathrm{d}t}{1-\cos(x^2)}=\) ?
分子有变限积分，考虑洛必达。
第 10 题 ¶
Example
向量场 \(\boldsymbol{A}(x,y,z)=(x+y+z)\boldsymbol{i}+xy\boldsymbol{j}+z\boldsymbol{k}\) 的旋度 \(\mathrm{rot}\boldsymbol{A}=\) ?
套公式即可。
第 11 题 ¶
Example
设函数 \(f(u,v)\) 可微，\(z=z(x,y)\) 由方程 \((x+1)z-y^2=x^2f(x-z,y)\) 确定，则 \(\displaystyle\left.\mathrm{d}z\right|_{(0,1)}=\)
对方程全微分即可，注意 \(x=0\)，所以在实际计算的时候并不需要将 \(\mathrm{~d} f\) 展开。
第 12 题 ¶
Example
设函数 \(f(x)=\arctan x-\dfrac{x}{1+ax^2}\)，且 \(f'''(0)=1\)，则 \(a=\) ?
考察使用泰勒求解高阶导数。
第 13 题 ¶
Example
行列式 \(\begin{vmatrix} \lambda & -1 & 0 & 0\\ 0 & \lambda & -1 & 0\\ 0 & 0 & \lambda & -1\\ 4 & 3 & 2 & \lambda+1 \end{vmatrix}\)
根据 15 年第 13 题的套路来做计算量是很大的，观察发现按照最后一行展开得到的都是对角阵，几乎 0 计算量。
第 14 题 ¶
Example
设 \(X_1,X_2,\dots,X_n\) 为来自总体 \(N(\mu,\sigma^2)\) 的简单随机样本，样本均值 \(\overline{X}=9.5\)，参数 \(\mu\) 的置信度为 \(0.95\) 的双侧置信区间的置信上限为 \(10.8\)，则 \(\mu\) 的置信度为 \(0.95\) 的双侧置信区间为 ?
出题人还是太善良了，就算不知道公式，只需要知道置信区间是关于均值对称的就能解决。
第 15 题 ¶
Example
已知平面区域 \(D=\big\{(r,\theta)\bigm| 2\leqslant r\leqslant 2(1+\cos\theta),\,-\dfrac{\pi}{2}\leqslant \theta\leqslant \dfrac{\pi}{2}\big\}\)，计算二重积分 \(\displaystyle\iint_D x\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y.\)
极坐标代入计算即可，送分题。
第 16 题 ¶
Example
设函数 \(y(x)\) 满足方程 \(y''+2y'+ky=0\)，其中 \(0<k<1\).
(1) 证明：反常积分 \(\displaystyle\int_{0}^{+\infty}y(x)\,\mathrm{d}x\) 收敛；
(2) 若 \(y(0)=1,\,y'(0)=1\)，求 \(\displaystyle\int_{0}^{+\infty}y(x)\,\mathrm{d}x\) 的值 .
第一问，求出特征根后发现两根都是负实数，因此对应的反常积分分别收敛，从而得证。
第二问，实在不会就强行解出两个任意常数代入计算，只要计算能力过关就不可能做不出来。
当然在考场上的高压环境下是很容易计算失误的，因此我们考虑根据微分方程带来的 \(y\) 和 \(y'\) 的关系式来简化计算。这种方法在 2020 年还会再次使用到。
第 17 题 ¶
Example
设函数 \(f(x,y)\) 满足 \(\dfrac{\partial f(x,y)}{\partial x}=(2x+1)\mathrm{e}^{2x-y}\)，且 \(f(0,y)=y+1\)，\(L_t\) 是从点 \((0,0)\) 到点 \((1,t)\) 的光滑曲线 . 计算曲线积分
并求 \(I(t)\) 的最小值 .
根据题意求出 \(f(x,y)\) 的表达式即可。
第 18 题 ¶
Example
设有界区域 \(\Omega\) 由平面 \(2x+y+2z=2\) 与三个坐标平面围成，\(\Sigma\) 为 \(\Omega\) 整个表面的外侧，计算曲面积分
直接运用高斯公式即可。
第 19 题 ¶
Example
已知函数 \(f(x)\) 可导，且 \(f(0)=1,\,0<f'(x)<\dfrac{1}{2}\)。设数列 \(\{x_n\}\) 满足 \(x_{n+1}=f(x_n)\ (n=1,2,\cdots)\)。证明：
(1) 级数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(x_{n+1}-x_n)\) 绝对收敛；
(2) \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}x_n\) 存在，且 \(0<\lim\limits_{n\to\infty}x_n<2\)。
第一问，压缩映像的直接考察，无难度。
第二问，根据级数与数列的关系即可，即 \(\displaystyle \lim_{ n \to \infty } x_{n}\) 存在 \(\iff\) \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(x_{n+1}-x_{n})\) 收敛。对递推式取极限得到 \(A=f(A)\)，构造辅助函数，结合零点定理和单调性即可说明 \(A\) 的取值范围。
第 20 题 ¶
Example
设矩阵
当 \(a\) 为何值时，方程 \(AX=B\) 无解、有唯一解、有无穷多解？在有解时，求解此方程。
将增广矩阵化为行阶梯型得到 \(a\) 的分类点，依次讨论即可。
第 21 题 ¶
Example
已知矩阵
(1) 求 \(A^{99}\)；
(2) 设 3 阶矩阵 \(B=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)\) 满足 \(B^2=BA\)。记 \(B^{100}=(\beta_1,\beta_2,\beta_3)\)，将 \(\beta_1,\beta_2,\beta_3\) 分别表示为 \(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\) 的线性组合。
第一问，常规方法计算量过大，考虑使用 \(\mathrm{Cayley-Hamilton}\) 定理，利用零化多项式结合带余除法把高次幂向低次幂约化，从而极大简化计算量。这种方法在后续真题中我还会使用到，务必熟练掌握。
第二问，根据第一问得到的结论递推即可。
第 22 题 ¶
Example
设二维随机变量 \((X,Y)\) 在区域 \(D=\{(x,y)\mid 0<x<1,\,x^2<y<\sqrt{x}\}\) 上服从均匀分布，令
(1) 写出 \((X,Y)\) 的概率密度；
(2) 问 \(U\) 与 \(X\) 是否相互独立？并说明理由；
(3) 求 \(Z=U+X\) 的分布函数 \(F(z)\)。
前两问较为基础，过程直接看图即可。
第三问，和 2008 年数一第 22 题类似，都是涉及到一个离散和一个连续。但是本题独特的地方在于 \(X\) 和 \(U\) 不独立，这就导致我们不能直接分离两个随机变量，增加分类讨论的难度。
第 23 题 ¶
Example
设总体 \(X\) 的概率密度为
其中 \(\theta\in(0,+\infty)\) 为未知参数，\(X_1,X_2,X_3\) 为来自总体 \(X\) 的简单随机样本，令 \(T=\max\{X_1,X_2,X_3\}\)。
(1) 求 \(T\) 的概率密度；
(2) 确定 \(a\)，使得 \(aT\) 为 \(\theta\) 的无偏估计。
第一问考察经典结论，在 2008 年数一第 7 题中讲解过，不再赘述。
第二问直接利用无偏估计的定义即可。
以上就是对于 2016 年数一真题的全部解答，质量很高的一套真题。难度主要集中在大题部分，选择填空基本纯送分（对于当年考生还是有难度的
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