拆区间
本节通过一道经典的三角积分问题为大家介绍这类题目的常见处理方法。对于这种被积三角函数在积分区间内的符号反复横跳的定积分，我们通常将其拆成离散和的形式进行处理。
例题
Example
证明：
\[ f(n) = \displaystyle\sum_{m=1}^n \int_0^m \cos \frac{2\pi n \left \lfloor x+1 \right \rfloor }{m} dx \]
等于 \(n\) 的所有因子（包括 \(1\) 和 \(n\)）之和，其中 \(\left \lfloor x+1 \right \rfloor\) 表示不超过 \(x+1\) 的最大整数，并计算 \(f(2021)\)。
很明显被积函数在积分区间内符号不定，因此我们先对积分做分段处理：
\[
\begin{align*} \int_0^m \cos \frac{2\pi n \left \lfloor x+1 \right \rfloor }{m} dx &= \sum_{k=1}^{m} \int_{k-1}^{k} \cos \frac{2\pi n \left \lfloor x+1 \right \rfloor }{m} dx \\ &= \sum_{k=1}^{m} \int_{k-1}^{k} \cos \frac{2\pi n k}{m} dx \\ &= \sum_{k=1}^{m} \cos \frac{2\pi n k}{m} \end{align*}
\]
分两种情况讨论：
情况 1：\(m\) 是 \(n\) 的因子，此时 \(\dfrac{2\pi n k}{m}\) 是 \(2\pi\) 的整数倍，故：
\[
\cos \dfrac{2\pi n k}{m} = 1
\]
因此：
\[
\sum_{k=1}^{m} \cos \frac{2\pi n k}{m} = \sum_{k=1}^{m} 1 = m
\]
情况 2：\(m\) 不是 \(n\) 的因子，我们用余弦求和公式：
\[
\sum_{k=1}^N \cos(kx) = \frac{\sin \dfrac{2N+1}{2}x - \sin \dfrac{x}{2}}{2\sin \dfrac{x}{2}}
\]
Tip
上面这个公式的证明请参考三角积分，我介绍了余弦函数等差角的 \(n\) 项累加和公式。
取 \(x = \dfrac{2\pi n}{m}\)，\(N = m\)，则：
\[
\begin{align*} \sum_{k=1}^{m} \cos \frac{2\pi n k}{m} &= \dfrac{\sin\left(\frac{2m+1}{2} \cdot \frac{2\pi n}{m}\right) - \sin \frac{\pi n}{m}}{2\sin \frac{\pi n}{m}} \\ &= \frac{\sin\left(2\pi n + \frac{\pi n}{m}\right) - \sin \frac{\pi n}{m}}{2\sin \frac{\pi n}{m}} \\ &= \frac{\sin \frac{\pi n}{m} - \sin \frac{\pi n}{m}}{2\sin \frac{\pi n}{m}} \\ &= 0 \end{align*}
\]
综上，我们得到：
\[
\int_0^m \cos \frac{2\pi n [x+1]}{m} dx = \begin{cases} m, & m \text{ 是 } n \text{ 的因子} \\ 0, & m \text{ 不是 } n \text{ 的因子} \end{cases}
\]
因此，
\[
f(n) = \sum_{m=1}^n \int_0^m \cos \frac{2\pi n [x+1]}{m} dx
\]
等于 \(n\) 的所有因子（包括 \(1\) 和 \(n\)）之和。
然后看第二个问题：计算 \(f(2021)\)
这个质因数分解可不容易想到，当年考场上很多同学认为只有 \(1\) 和 \(2021\) 两个，大家对于年份，尤其是考试当年的年份数字的根号化简、质因数分解等常用知识点一定要熟练！
对 \(2021\) 进行质因数分解：
\[ 2021 = 43 \times 47 \]
它的所有正因子为：\(1, 43, 47, 2021\)。
因此：
\[
f(2021) = 1 + 43 + 47 + 2021 = 2112
\]
本节题目非常经典，所用到的处理手法也是这类题目通用的，将积分拆成多个积分区间为 1 的积分累加的形式，本题按照这种方式拆分之后，每一段上的取整函数都可以直接化简，达到我们的目的。
习题
Q1（2019 数一 T17）
Question
求曲线 \(y=\mathrm{e}^{-x}\sin x\ (x\geqslant 0)\) 与 \(x\) 轴之间图形的面积 .
Answer
本题最简单的方法是使用 Laplace 变换，详见拉普拉斯变换
Q2
Question
设函数 \(f(x)\) 在区间 \([0,1]\) 上可导，且 \(|f'(x)| < M\)，证明：
\[
\left|\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{~d} x - \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} f\left( \frac{k}{n} \right) \right| \leqslant \frac{M}{2n}
\]
Answer
\[
\begin{aligned}
LHS &= \left|\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{~d} x - \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} f\left( \frac{k}{n} \right) \right|\\
&= \left| \sum_{k=1}^{n} \int_{\frac{k-1}{n}}^{\frac{k}{n}} f(x) \mathrm{~d} x - \sum_{k=1}^{n} \int_{\frac{k-1}{n}}^{\frac{k}{n}} f\left( \frac{k}{n} \right) \mathrm{~d} x \right| \\
&= \left| \sum_{k=1}^{n} \int_{\frac{k-1}{n}}^{\frac{k}{n}} \left[ f(x)-f\left( \frac{k}{n} \right) \right] \mathrm{~d} x \right| \\
&\leqslant \sum_{k=1}^{n} \int_{\frac{k-1}{n}}^{\frac{k}{n}} \left| f(x)-f\left( \frac{k}{n} \right) \right| \mathrm{~d} x \\
&= \sum_{k=1}^{n} \int_{\frac{k-1}{n}}^{\frac{k}{n}} \left|f'(\xi_{k})\left( x-\frac{k}{n} \right)\right| \mathrm{~d} x \quad\quad \xi_{k}\in\left( x, \frac{k}{n} \right)\\
&\leqslant \sum_{k=1}^{n} \int_{\frac{k-1}{n}}^{\frac{k}{n}} M\left| x-\frac{k}{n} \right| \mathrm{~d} x\\
&=M\sum_{k=1}^{n} \int_{\frac{k-1}{n}}^{\frac{k}{n}} \left( \frac{k}{n}-x \right) \mathrm{~d} x \\
&= M \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{k}{n}\cdot \frac{1}{n} - \frac{2k-1}{2n^{2}} \right)\\
&= M\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2n^{2}}\\
&=\frac{M}{2n}
\end{aligned}
\]
Q3
Question
若 \(x\geqslant m\in \mathbb{N^{*}}\)，\(f\) 是一个非负递增的函数，则当 \(\xi\geqslant m\) 时，证明：
\[
\left| \sum_{k=m}^{\lfloor\xi\rfloor} f(k)-\int_{m}^{\xi} f(x) \mathrm{~d} x \right| \leqslant f(\xi)
\]
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