浙大期末定积分好题
本节分享一道浙江大学期末考过的定积分好题。我将介绍分部积分和直接凑出原函数两种解决方法，值得一做！
Example
求定积分
\[
I = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{e^{\frac{t}{2}}(\cos t-\sin t)}{\sqrt{\cos t}} \mathrm{d}t
\]
方法 1 ¶
我们将积分分为 \(\cos t\) 和 \(\sin t\) 两部分来做，然后会发现通过分部积分恰好能抵消另一个积分。
\[
\begin{aligned}
I &= \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{e^{\frac{t}{2}}(\cos t-\sin t)}{\sqrt{\cos t}} \mathrm{d}t\\
&= \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{e^{\frac{t}{2}}\cos t}{\sqrt{\cos t}} \mathrm{d}t
- \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{e^{\frac{t}{2}}\sin t}{\sqrt{\cos t}} \mathrm{d}t \\
&= \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} e^{\frac{t}{2}}\sqrt{\cos t}\,\mathrm{d}t
+ \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{e^{\frac{t}{2}}}{\sqrt{\cos t}} \mathrm{d}(\cos t) \\
&= \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} e^{\frac{t}{2}}\sqrt{\cos t}\,\mathrm{d}t
+ 2\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} e^{\frac{t}{2}}\,\mathrm{d}\sqrt{\cos t} \\
&= \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} e^{\frac{t}{2}}\sqrt{\cos t}\,\mathrm{d}t
+ 2\left(e^{\frac{t}{2}}\sqrt{\cos t}\bigg|_{0}^{\frac{\pi}{4}}
-\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sqrt{\cos t}\,\mathrm{d}e^{\frac{t}{2}}\right) \\
&= \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} e^{\frac{t}{2}}\sqrt{\cos t}\,\mathrm{d}t
+ 2\left(e^{\frac{\pi}{8}}\sqrt{\cos\frac{\pi}{4}}
- e^{0}\sqrt{\cos 0}
-\frac 12\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} e^{\frac{t}{2}}\sqrt{\cos t}\,\mathrm{d}t\right) \\
&= 2\left(e^{\frac{\pi}{8}}\cdot \sqrt{ \frac{\sqrt{2}}{2} }-1\right)\\
&= 2^{\frac 34}e^{\frac{\pi}{8}}-2
\end{aligned}
\]
方法 2 ¶
观察被积函数的结构，我们可以将其向 \([e^{at}f(t)]' = e^{at}[a f(t) + f'(t)]\) 的经典模型靠拢。
将分子分开，被积函数可以改写为：
\[
e^{\frac{t}{2}} \left( \frac{\cos t}{\sqrt{\cos t}} - \frac{\sin t}{\sqrt{\cos t}} \right) = e^{\frac{t}{2}} \left( \sqrt{\cos t} - \frac{\sin t}{\sqrt{\cos t}} \right)
\]
我们对 \(\sqrt{\cos t}\) 求导，看看会得到什么：
\[
(\sqrt{\cos t})' = \frac{1}{2\sqrt{\cos t}} \cdot (-\sin t) = -\frac{\sin t}{2\sqrt{\cos t}}
\]
而这个导数刚好是被积函数括号内第二项的一半。联系到前面有 \(e^{\frac{t}{2}}\)，它的导数会产生一个 \(\frac{1}{2}\) 的系数。我们直接尝试对 \(e^{\frac{t}{2}} \sqrt{\cos t}\) 求导：
\[
\begin{aligned}
\left( e^{\frac{t}{2}} \sqrt{\cos t} \right)' &= \left(e^{\frac{t}{2}}\right)' \sqrt{\cos t} + e^{\frac{t}{2}} \left(\sqrt{\cos t}\right)'\\
&= \frac{1}{2} e^{\frac{t}{2}} \sqrt{\cos t} - e^{\frac{t}{2}} \frac{\sin t}{2\sqrt{\cos t}}\\
&= \frac{1}{2} e^{\frac{t}{2}} \left( \sqrt{\cos t} - \frac{\sin t}{\sqrt{\cos t}} \right)\\
&= \frac{1}{2} e^{\frac{t}{2}} \frac{\cos t - \sin t}{\sqrt{\cos t}}
\end{aligned}
\]
这个结果刚好是题目中被积函数的 \(\dfrac{1}{2}\)。因此，原函数就被我们凑出来了：
\[
\int \frac{e^{\frac{t}{2}}(\cos t-\sin t)}{\sqrt{\cos t}} \mathrm{d}t = 2 e^{\frac{t}{2}} \sqrt{\cos t} + C
\]
从而题目要求的定积分就得以解决：
\[
I = 2 e^{\frac{t}{2}} \sqrt{\cos t} \bigg|_{0}^{\frac{\pi}{4}}=2^{\frac{3}{4}} e^{\frac{\pi}{8}} - 2
\]
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