2004 年
第 1 题 ¶
Example
曲线 \(y=\ln x\) 上与直线 \(x+y=1\) 垂直的切线方程为 ?
注意力。注意不到就老老实实设切点表示切线。
第 2 题 ¶
Example
已知 \(f'(e^x)=xe^{-x}\)，且 \(f(1)=0\)，则 \(f(x)=\) ?
换元或者代数变形得到 \(f'(x)\) 表达式，积分求出原函数即可。
第 3 题 ¶
Example
设 \(L\) 为正向圆周 \(x^2+y^2=2\) 在第一象限中的部分，则曲线积分 \(\displaystyle \int_L x\,\mathrm{d}y-2y\,\mathrm{d}x\) 的值为 ?
第一种方法直接代入参数方程计算：
当然也可以补线以后用格林公式，两种方法计算量都不大。
第 4 题 ¶
Example
欧拉方程 \(\displaystyle x^2\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2}+4x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+2y=0\ (x>0)\) 的通解为 ?
数一首次考察欧拉方程，套路题，做换元 \(x=\mathrm{e}^{ t }\) 即可，后续过程同济版高数例题就是使用算子进行解决的。
第 5 题 ¶
Example
设矩阵
矩阵 \(B\) 满足 \(ABA^*=2BA^*+E\)，其中 \(A^*\) 为 \(A\) 的伴随矩阵，\(E\) 是单位矩阵，则 \(|B|=\) ?
移项取行列式，结合 \(|A^{*}|=|A|^{n-1}\) 即可解决。
第 6 题 ¶
Example
设随机变量 \(X\) 服从参数为 \(\lambda\) 的指数分布，则 \(\displaystyle P\left\{X>\sqrt{D(X)}\right\}=\) ?
考察指数分布的方差。
第 7 题 ¶
Example
把 \(x\to 0^+\) 时的无穷小量 \(\displaystyle \alpha=\int_0^x \cos(t^2)\,\mathrm{d}t,\ \beta=\int_0^{x^2} \tan\sqrt{t}\,\mathrm{d}t,\ \gamma=\int_0^{\sqrt{x}} \sin(t^3)\,\mathrm{d}t\) 排列起来，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是 ?
(A) \(\alpha,\beta,\gamma\).
(B) \(\alpha,\gamma,\beta\).
(C) \(\beta,\alpha,\gamma\).
(D) \(\beta,\gamma,\alpha\).
考察变限积分的等价，1993 年数一第 6 题我详细总结过这个考点的部分结论，这里不再赘述。
第 8 题 ¶
Example
设函数 \(f(x)\) 连续，且 \(f'(0)>0\)，则存在 \(\delta>0\)，使得 ?
(A) \(f(x)\) 在 \((0,\delta)\) 内单调增加 .
(B) \(f(x)\) 在 \((-\delta,0)\) 内单调减少 .
(C) 对任意的 \(x\in(0,\delta)\)，有 \(f(x)>f(0)\).
(D) 对任意的 \(x\in(-\delta,0)\)，有 \(f(x)>f(0)\).
导数定义结合极限的保号性，选 C。
第 9 题 ¶
Example
设 \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n\) 为正项级数 . 下列结论中正确的是 ?
(A) 若 \(\displaystyle \lim_{n\to\infty} na_n=0\)，则级数 \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n\) 收敛 .
(B) 若存在非零常数 \(\lambda\)，使得 \(\displaystyle \lim_{n\to\infty} na_n=\lambda\)，则级数 \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n\) 发散 .
(C) 若级数 \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n\) 收敛，则 \(\displaystyle \lim_{n\to\infty} n^2 a_n=0\).
(D) 若级数 \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n\) 发散，则存在非零常数 \(\lambda\)，使得 \(\displaystyle \lim_{n\to\infty} na_n=\lambda\).
B 选项就是比较判别法的极限形式，其他选项随便举个反例即可。
第 10 题 ¶
Example
设 \(f(x)\) 为连续函数，\(\displaystyle F(t)=\int_1^t \mathrm{d}y\int_y^t f(x)\,\mathrm{d}x\)，则 \(F'(2)\) 等于 ?
(A) \(2f(2)\).
(B) \(f(2)\).
(C) \(-f(2)\).
(D) \(0\).
换序。
第 11 题 ¶
Example
设 \(A\) 是 3 阶方阵 , 将 \(A\) 的第 1 列与第 2 列交换得 \(B\), 再把 \(B\) 的第 2 列加到第 3 列得 \(C\), 则满足 \(AQ=C\) 的可逆矩阵 \(Q\) 为 ?
(A) \(\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}\).
(B) \(\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\).
(C) \(\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}\).
(D) \(\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\).
考察三类初等矩阵，1997 年第 20 题总结过三类初等矩阵的逆和行列式的相关性质，忘记的朋友可以回顾一下。
第 12 题 ¶
Example
设 \(A,B\) 为满足 \(AB=O\) 的任意两个非零矩阵 , 则必有 ?
(A) \(A\) 的列向量组线性相关 , \(B\) 的行向量组线性相关 .
(B) \(A\) 的列向量组线性相关 , \(B\) 的列向量组线性相关 .
(C) \(A\) 的行向量组线性相关 , \(B\) 的行向量组线性相关 .
(D) \(A\) 的行向量组线性相关 , \(B\) 的列向量组线性相关 .
根据 Sylvester 不等式得到 \(r(A)+r(B)\leqslant n\)，从而得到 \(A\) 列不满秩，\(B\) 行不满秩。
不熟悉矩阵秩相关性质的朋友可以参考往期文章，有详细讲解。矩阵秩大总结
第 13 题 ¶
Example
设随机变量 \(X\) 服从正态分布 \(N(0,1)\), 对给定的 \(\alpha\ (0<\alpha<1)\), 数 \(u_\alpha\) 满足 \(P\{X>u_\alpha\}=\alpha\). 若 \(P\{|X|<x\}=\alpha\), 则 \(x\) 等于 ?
(A) \(\displaystyle u_{\frac{\alpha}{2}}\).
(B) \(\displaystyle u_{1-\frac{\alpha}{2}}\).
(C) \(\displaystyle u_{\frac{1-\alpha}{2}}\).
(D) \(\displaystyle u_{1-\alpha}\).
考察标准正态分布的上 \(\alpha\) 分位数，画图即可，选 C。
第 14 题 ¶
Example
设随机变量 \(X_1,X_2,\cdots,X_n\ (n>1)\) 独立同分布 , 且其方差为 \(\sigma^2>0\). 令 \(Y=\displaystyle\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i\), 则 ?
(A) \(\mathrm{Cov}(X_1,Y)=\displaystyle\frac{\sigma^2}{n}\).
(B) \(\mathrm{Cov}(X_1,Y)=\sigma^2\).
(C) \(D(X_1+Y)=\displaystyle\frac{n+2}{n}\sigma^2\).
(D) \(D(X_1-Y)=\displaystyle\frac{n+1}{n}\sigma^2\).
本题的结论在之后的数一大题中再次考察过，值得重视。
因为随机变量独立同分布，因此两两独立，即有：
后续根据定义展开计算即可，选 A。
第 15 题 ¶
Example
设 \(\mathrm{e}<a<b<\mathrm{e}^2\), 证明 \(\ln^2 b-\ln^2 a>\displaystyle\frac{4}{\mathrm{e}^2}(b-a)\).
高中题，同构即可。
第 16 题 ¶
Example
某种飞机在机场降落时 , 为了减少滑行距离 , 在触地的瞬间 , 飞机尾部张开减速伞 , 以增大阻力 , 使飞机迅速减速并停下 .
现有一质量为 \(9000\ \mathrm{kg}\) 的飞机 , 着陆时的水平速度为 \(700\ \mathrm{km/h}\). 经测试 , 减速伞打开后 , 飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比 ( 比例系数为 \(k=6.0\times 10^6\)). 问从着陆点算起 , 飞机滑行的最长距离是多少 ?
大物期末题。使用如下技巧：
具体过程如下：
第 17 题 ¶
Example
计算曲面积分
其中 \(\Sigma\) 是曲面 \(z=1-x^2-y^2\ (z\geqslant 0)\) 的上侧 .
补面法 \(+\) 高斯公式，三重积分部分采用柱面坐标系解决。
第 18 题 ¶
Example
设有方程 \(x^n+nx-1=0\), 其中 \(n\) 为正整数 . 证明此方程存在唯一正实根 \(x_n\), 并证明当 \(\alpha>1\) 时 , 级数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}x_n^\alpha\) 收敛 .
第一问通过零点定理结合单调性即可说明。
第二问，根据第一问判断的零点范围对通项进行放缩，转化为 \(p\) 级数，从而说明收敛。
第 19 题 ¶
Example
设 \(z=z(x,y)\) 是由 \(x^2-6xy+10y^2-2yz-z^2+18=0\) 确定的函数 , 求 \(z=z(x,y)\) 的极值点和极值 .
纯计算题，对求出来的两个驻点分别使用充分条件进行判断，计算量不小。
第 20 题 ¶
Example
设有齐次线性方程组
其中 \(n\geqslant 2\). 试问 \(a\) 取何值时 , 该方程组有非零解 , 并求出其通解 .
非常好的一道题，本质考察秩一矩阵，我之前专门写过文章讲解本题：秩一矩阵超绝练习题
第 21 题 ¶
Example
设矩阵 \(A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & -3\\ -1 & 4 & -3\\ 1 & a & 5 \end{pmatrix}\) 的特征方程有一个二重根 , 求 \(a\) 的值 , 并讨论 \(A\) 是否可相似对角化 .
首先求出特征多项式，然后分情况讨论代数重数和几何重数的关系，比较基础的一道相似对角化判断题。
第 22 题 ¶
Example
设 \(A,B\) 为随机事件 , 且 \(P(A)=\dfrac{1}{4},\ P(B\mid A)=\dfrac{1}{3},\ P(A\mid B)=\dfrac{1}{2}\), 令
求 :
(1) 二维随机变量 \((X,Y)\) 的概率分布 ;
(2) \(X\) 与 \(Y\) 的相关系数 \(\rho_{XY}\).
第一问根据题干给的几个概率即可推出二维概率分布所需的数据。
第二问，根据第一问的联合分布律求出边缘分布律，再根据定义求出相应的期望和方差即可。
第 23 题 ¶
Example
设总体 \(X\) 的分布函数为
其中未知参数 \(\beta>1\), \(X_1,X_2,\cdots,X_n\) 为来自总体 \(X\) 的简单随机样本 , 求 :
(1) \(\beta\) 的矩估计量 ;
(2) \(\beta\) 的最大似然估计量 .
基础题。
以上就是对于 2004 年数一真题的全部解答，整张试卷的计算量和难度都算正常，其中第 16 题如果没有接触过这个物理技巧的话常规做还是不容易的。除此之外，第 4 题为数一首次考察欧拉方程。另外，本套题目对经典结论的考察也不少，都应当熟练掌握，如第 7 题再次考察变限积分等价这一结论；第 11 题再次考察三类初等矩阵；第 20 题再次考察秩一矩阵的相关结论等。
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