2017 年

Example

若函数

在 \(x=0\) 处连续，则 ?

(A) \(ab=\dfrac{1}{2}\).

(B) \(ab=-\dfrac{1}{2}\).

(C) \(ab=0\).

(D) \(ab=2\).

Example

设函数 \(f(x)\) 可导，且 \(f(x)f'(x)>0\)，则 ?

(A) \(f(1)>f(-1)\).

(B) \(f(1)<f(-1)\).

(C) \(|f(1)|>|f(-1)|\).

(D) \(|f(1)|<|f(-1)|\).

Example

函数 \(f(x,y,z)=x^2y+z^2\) 在点 \((1,2,0)\) 处沿向量 \(\boldsymbol{n}=(1,2,2)\) 的方向导数为 ?

(A) \(12\).

(B) \(6\).

(C) \(4\).

(D) \(2\).

Example

甲、乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方 \(10\)（单位：\(\mathrm{m}\)）处，图中，实线表示甲的速度曲线 \(v=v_1(t)\)（单位：\(\mathrm{m/s}\)），虚线表示乙的速度曲线 \(v=v_2(t)\)，三块阴影部分面积的数值依次是 \(10,20,3\)。计时开始后乙追上甲的时刻记为 \(t_0\)（单位：\(\mathrm{s}\)），则 ?

(A) \(t_0=10\).

(B) \(15<t_0<20\).

(C) \(t_0=25\).

(D) \(t_0>25\).

Example

设 \(\boldsymbol{\alpha}\) 为 \(n\) 维单位列向量，\(E\) 为 \(n\) 阶单位矩阵，则 ?

(A) \(E-\boldsymbol{\alpha}\boldsymbol{\alpha}^\mathrm{T}\) 不可逆 .

(B) \(E+\boldsymbol{\alpha}\boldsymbol{\alpha}^\mathrm{T}\) 不可逆 .

(C) \(E+2\boldsymbol{\alpha}\boldsymbol{\alpha}^\mathrm{T}\) 不可逆 .

(D) \(E-2\boldsymbol{\alpha}\boldsymbol{\alpha}^\mathrm{T}\) 不可逆 .

Example

已知矩阵

则 ?

(A) \(A\) 与 \(C\) 相似，\(B\) 与 \(C\) 相似 .

(B) \(A\) 与 \(C\) 相似，\(B\) 与 \(C\) 不相似 .

(C) \(A\) 与 \(C\) 不相似，\(B\) 与 \(C\) 相似 .

(D) \(A\) 与 \(C\) 不相似，\(B\) 与 \(C\) 不相似 .

Example

设 \(A,B\) 为随机事件 . 若 \(0<P(A)<1,\,0<P(B)<1\)，则 \(P(A\mid B)>P\left(A\mid \overline{B}\right)\) 的充分必要条件是 ?

(A) \(P(B\mid A)>P\left(B\mid \overline{A}\right)\).

(B) \(P(B\mid A)<P\left(B\mid \overline{A}\right)\).

(C) \(P\left(\overline{B}\mid A\right)>P\left(B\mid \overline{A}\right)\).

(D) \(P\left(\overline{B}\mid A\right)<P\left(B\mid \overline{A}\right)\).

Example

设 \(X_1,X_2,\cdots,X_n\ (n\geqslant 2)\) 为来自总体 \(N(\mu,1)\) 的简单随机样本，记 \(\overline{X}=\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n X_i\)，则下列结论中不正确的是 ?

(A) \(\sum\limits_{i=1}^n (X_i-\mu)^2\) 服从 \(\chi^2\) 分布 .

(B) \(2(X_n-X_1)^2\) 服从 \(\chi^2\) 分布 .

(C) \(\sum\limits_{i=1}^n (X_i-\overline{X})^2\) 服从 \(\chi^2\) 分布 .

(D) \(n(\overline{X}-\mu)^2\) 服从 \(\chi^2\) 分布 .

Example

已知函数 \(f(x)=\dfrac{1}{1+x^2}\)，则 \(f^{(3)}(0)=\) ?

Example

微分方程 \(y''+2y'+3y=0\) 的通解为 \(y=\) ?

Example

若曲线积分 \(\displaystyle\int_L \dfrac{x\,\mathrm{d}x-ay\,\mathrm{d}y}{x^2+y^2-1}\) 在区域 \(D=\{(x,y)\mid x^2+y^2<1\}\) 内与路径无关，则 \(a=\) ?

Example

幂级数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1}n x^{n-1}\) 在区间 \((-1,1)\) 内的和函数 \(S(x)=\) ?

Example

设矩阵 \(A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 2\\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}\)，\(\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3\) 为线性无关的 \(3\) 维列向量组，则向量组 \(A\boldsymbol{\alpha}_1,A\boldsymbol{\alpha}_2,A\boldsymbol{\alpha}_3\) 的秩为 ?

Example

设随机变量 \(X\) 的分布函数为 \(F(x)=0.5\Phi(x)+0.5\Phi\left(\dfrac{x-4}{2}\right)\)，其中 \(\Phi(x)\) 为标准正态分布函数，则 \(E(X)=\) ?

Example

设函数 \(f(u,v)\) 具有 \(2\) 阶连续偏导数，\(y=f(\mathrm{e}^x,\cos x)\)，求 \(\left.\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right|_{x=0},\ \left.\dfrac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}\right|_{x=0}\).

Example

求 \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n \dfrac{k}{n^2}\ln\left(1+\dfrac{k}{n}\right)\).

Example

已知函数 \(y(x)\) 由方程 \(x^3+y^3-3x+3y-2=0\) 确定，求 \(y(x)\) 的极值 .

Example

设函数 \(f(x)\) 在区间 \([0,1]\) 上具有 \(2\) 阶导数，且 \(f(1)>0,\ \displaystyle\lim_{x\to 0^+}\frac{f(x)}{x}<0\)。证明：

(1) 方程 \(f(x)=0\) 在区间 \((0,1)\) 内至少存在一个实根；

(2) 方程 \(f(x)f''(x)+\big[f'(x)\big]^2=0\) 在区间 \((0,1)\) 内至少存在两个不同实根。

Example

设薄片型物体 \(S\) 是圆锥面 \(z=\sqrt{x^2+y^2}\) 被柱面 \(z^2=2x\) 割下的有限部分，其上任一点的密度为 \(\mu(x,y,z)=9\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)。记圆锥面与柱面的交线为 \(C\)。

(1) 求 \(C\) 在 \(xOy\) 平面上的投影曲线的方程；

(2) 求 \(S\) 的质量 \(M\)。

Example

设 \(3\) 阶矩阵 \(A=(\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3)\) 有 \(3\) 个不同的特征值，且 \(\boldsymbol{\alpha}_3=\boldsymbol{\alpha}_1+2\boldsymbol{\alpha}_2\)。

(1) 证明 \(r(A)=2\)；

(2) 设 \(\boldsymbol{\beta}=\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3\)，求方程组 \(A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta}\) 的通解。

Example

设二次型 \(f(x_1,x_2,x_3)=2x_1^2-x_2^2+a x_3^2+2x_1x_2-8x_1x_3+2x_2x_3\) 在正交变换 \(\boldsymbol{x}=Q\boldsymbol{y}\) 下的标准形为 \(\lambda_1 y_1^2+\lambda_2 y_2^2\)，求 \(a\) 的值及一个正交矩阵 \(Q\)。

Example

设随机变量 \(X,Y\) 相互独立，且 \(X\) 的概率分布为 \(P\{X=0\}=P\{X=2\}=\dfrac{1}{2}\)，\(Y\) 的概率密度为

(1) 求 \(P\{Y\leqslant E(Y)\}\)；

(2) 求 \(Z=X+Y\) 的概率密度。

Example

某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做 \(n\) 次测量，该物体的质量 \(\mu\) 是已知的。设 \(n\) 次测量结果 \(X_1,X_2,\dots,X_n\) 相互独立且均服从正态分布 \(N(\mu,\sigma^2)\)，该工程师记录的是 \(n\) 次测量的绝对误差 \(Z_i=|X_i-\mu|\ (i=1,2,\dots,n)\)。利用 \(Z_1,Z_2,\dots,Z_n\) 估计 \(\sigma\)。

(1) 求 \(Z_1\) 的概率密度；

(2) 利用一阶矩求 \(\sigma\) 的矩估计量；

(3) 求 \(\sigma\) 的最大似然估计量。