结合积分中值定理
本节分享一道三角拆区间的积分问题，本题还需额外结合积分中值定理加以解决，下面一起来看看吧！
例题
Example
求：\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \int_{0}^{\pi} x^{2022} \left | \sin nx \right | \mathrm{d}x\)
首先先换元，令 \(t = nx\)，则 \(x = \dfrac{t}{n}\)，\(\mathrm{d}x = \dfrac{\mathrm{d}t}{n}\)。
当 \(x=0\) 时，\(t=0\)；当 \(x=\pi\) 时，\(t=n\pi\)。
代入原积分：
\[
\begin{aligned}\int_0^\pi x^{2022} |\sin nx| \, \mathrm{d}x
&= \int_0^{n\pi} \left( \frac{t}{n} \right)^{2022} |\sin t| \cdot \frac{\mathrm{d}t}{n}
\\&= \frac{1}{n^{2023}} \int_0^{n\pi} t^{2022} |\sin t| \, \mathrm{d}t\end{aligned}
\]
显然被积函数在积分区间内符号是不停变化的，所以为了去掉绝对值我们需要拆分积分区间，这也就是我在拆区间解决一类积分问题中介绍的这一类题目的常见套路。于是将 \([0, n\pi]\) 拆为 \(n\) 个长度为 \(\pi\) 的区间：
\[
\int_0^{n\pi} t^{2022} |\sin t| \, \mathrm{d}t
= \sum_{k=0}^{n-1} \int_{k\pi}^{(k+1)\pi} t^{2022} |\sin t| \, \mathrm{d}t
\]
对每个区间应用积分中值定理：
存在 \(\xi_k \in (k\pi, (k+1)\pi)\)，使得
\[
\int_{k\pi}^{(k+1)\pi} t^{2022} |\sin t| \, \mathrm{d}t
= \xi_k^{2022} \int_{k\pi}^{(k+1)\pi} |\sin t| \, \mathrm{d}t
\]
由于 \(\displaystyle\int_{k\pi}^{(k+1)\pi} |\sin t| \, \mathrm{d}t = \int_0^\pi \sin t \, \mathrm{d}t = 2\)，因此：
\[
\int_{k\pi}^{(k+1)\pi} t^{2022} |\sin t| \, \mathrm{d}t = 2 \xi_k^{2022}
\]
由 \(k\pi < \xi_k < (k+1)\pi\)，得：
\[
(k\pi)^{2022} < \xi_k^{2022} < ((k+1)\pi)^{2022}
\]
因此：
\[
2 \sum_{k=0}^{n-1} (k\pi)^{2022}
< \int_0^{n\pi} t^{2022} |\sin t| \, \mathrm{d}t
< 2 \sum_{k=0}^{n-1} ((k+1)\pi)^{2022}
\]
两边同除以 \(n^{2023}\)：
\[
\frac{2\pi^{2022}}{n^{2023}} \sum_{k=0}^{n-1} k^{2022}
< \frac{1}{n^{2023}} \int_0^{n\pi} t^{2022} |\sin t| \, \mathrm{d}t
< \frac{2\pi^{2022}}{n^{2023}} \sum_{k=1}^{n} k^{2022}
\]
\[
\begin{aligned}\lim_{n\to\infty} \frac{2\pi^{2022}}{n^{2023}} \sum_{k=0}^{n-1} k^{2022}
&= 2\pi^{2022}\lim_{n\to\infty} \frac1n \sum_{k=0}^{n-1} \left(\frac{k}{n}\right)^{2022} \\&=2\pi^{2022}\int_0^1 x^{2022}\,\mathrm{d}x \\&=2\pi^{2022} \cdot \frac{1}{2023}\end{aligned}
\]
\[
\begin{aligned}\lim_{n\to\infty} \frac{2\pi^{2022}}{n^{2023}} \sum_{k=1}^{n} k^{2022}
&= 2\pi^{2022}\lim_{n\to\infty} \frac1n \sum_{k=1}^{n} \left(\frac{k}{n}\right)^{2022} \\&=2\pi^{2022}\int_0^1 x^{2022}\,\mathrm{d}x \\&=2\pi^{2022} \cdot \frac{1}{2023}\end{aligned}
\]
由迫敛性，中间项极限为：
\[
\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n^{2023}} \int_0^{n\pi} t^{2022} |\sin t| \, \mathrm{d}t
= \frac{2\pi^{2022}}{2023}
\]
故：
\[
\color{red}{\boxed{
\lim_{n\to\infty} \int_0^\pi x^{2022} |\sin nx| \, \mathrm{d}x
= \frac{2\pi^{2022}}{2023}
}}
\]
拓展
事实上，本题使用我在 小数部分的周期性 一文中介绍的 \(\mathrm{Riemann-Lebesgue \;Lemma}\) 即可一步秒杀，下面先来回顾一下这个引理。
Riemann-Lebesgue Lemma
有限区间形式：
设 \(f(x)\) 是以 \(T\) 为周期的连续（或分段连续）周期函数， \(g(x)\) 在 \([a, b]\) 上可积，则：
\[
\lim_{n \to \infty} \int_a^b g(x) f(nx) \,\mathrm{d}x = \left( \frac{1}{T} \int_0^T f(x) \,\mathrm{d}x \right) \cdot \int_a^b g(x) \,\mathrm{d}x
\]
使用上面这个引理我们来秒杀本节的这个题目：
\(g(x)=x^{2022}\)，\(f(x)=|\sin x|\)，\(f(x)\) 的周期为：\(T=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{2\pi}{\omega}=\pi\)
故：
\[
\begin{aligned}
I&=\left( \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} |\sin x| \mathrm{~d} x \right)\cdot \int_{0}^{\pi} x^{2022} \mathrm{~d} x \\
&=\frac{1}{\pi}\cdot 2\cdot \frac{\pi^{2023}}{2023}\\
&= \frac{2\pi^{2022}}{2023}
\end{aligned}
\]
习题
Question
求解：
\[
\displaystyle\lim_{n\to\infty} \int_0^{+\infty} \mathrm{e}^{-x} (nx - [nx]) \mathrm{d}x
\]
其中 \([x]\) 表示不超过 \(x\) 的最大整数。
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