幂级数还能这样求？
本节分享几道幂级数好题，常规的逐项求导或者逐项积分对于这类题较难处理，看看如何通过巧妙的代数变形进行解决吧！
例 1
Example
求幂级数的和：(\(|x|<1\))
\[
S(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \left( 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots+\frac{1}{n} \right)x^{n}
\]
本题如果考虑逐项求导解决，那计算量可不是一般的大，最后可能还要解一个微分方程，但是如果我们把调和级数的部分写成求和的形式，这个幂级数就变成了一个二重求和问题，于是可以考虑交换求和顺序，也就是我们的方法 1：
方法 1：二重级数交换积分次序
我们先将调和级数写成求和形式：
\[
S(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \left( \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} \right) x^{n}
\]
交换求和顺序，看一下范围，原范围是 \(1\leqslant n<\infty,1\leqslant k<n\)，对 \(k\) 求并：\(k\in \bigcup_{n=1}^{\infty}[1,n]=[1,\infty)\)；对 \(n\) 求交：\(n\in [1,\infty)\cap[k,\infty)=[k,\infty)\)，因此有：
\[
\begin{aligned}
S(x) &= \sum_{k=1}^{\infty} \sum_{n=k}^{\infty} \frac{1}{k}x^{n}\\
&= \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k}\sum_{n=k}^{\infty} x^{n}\\
&= \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k}\cdot \frac{x^{k}}{1-x}\\
&= \frac{1}{1-x}\sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^{k}}{k}\\
&= -\frac{\ln(1-x)}{1-x}
\end{aligned}
\]
当然了，看到调和级数要联想到递推，于是我们可以进行如下代数变形，从而得到一个只关于 \(S(x)\) 的一元一次方程。
方法 2：构造方程
记调和级数为 \(H_{n}=1+\frac{1}{2}+\dots+\frac{1}{n}\)，\(H_{0}=0\)，考虑递推思想，注意到：
\[
\begin{aligned}
S(x)-\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n} &= \sum_{n=1}^{\infty} H_{n}x^{n}-\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n}\\
&= \sum_{n=1}^{\infty} H_{n-1}x^{n}\\
&= \sum_{n=2}^{\infty} H_{n-1}x^{n}\\
&= x\sum_{n=2}^{\infty} H_{n-1}x^{n-1}\\
&= x\sum_{n=1}^{\infty} H_{n}x^{n}\\
&= xS(x)
\end{aligned}
\]
整理得：
\[
S(x)-\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n}=xS(x)
\]
即：
\[
S(x)+\ln(1-x)=xS(x)
\]
解得：
\[
S(x)=- \frac{\ln(1-x)}{1-x}
\]
当然，并不是这类题都能化简成一个如此简单的一次方程，有可能需要借助微分方程才能解决，接下来我们就来看 3 道这样的题目。
例 2
Example
求：
\[
1+\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4}x^{2}+\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{5}{6}x^{3}+\dots+ \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}x^{n}+\dots
\]
首先求收敛域，通过根式判别法结合斯特林公式显然收敛半径为 \(R=1\)。
当 \(x=1\) 时显然发散；当 \(x=-1\) 时根据莱布尼茨判别法收敛，因此收敛域为 \([-1,1)\).
记：
\[
S(x)=1+\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4}x^{2}+\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{5}{6}x^{3}+\dots+ \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}x^{n}+\dots
\]
求导得：
\[
S'(x)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4}2x+\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{5}{6}3x^{2}+\dots+ \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}nx^{n-1}+\frac{(2n+1)!!}{(2n+2)!!}(n+1)x^{n}\dots
\]
左右同乘 \(x\) 对齐次数，得：
\[
xS'(x)=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4}2x^{2}+\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{5}{6}3x^{3}+\dots+ \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}nx^{n}+\dots
\]
上面两式作差，即 \(S'(x)-xS'(x)\)，分析 \(x^{n}\) 的系数：
\[
\begin{aligned}
&\frac{(2n+1)!!}{(2n+2)!!}(n+1)-\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}n\\
=& \frac{(2n+1)\cdot(2n-1)!!}{(2n+2)\cdot(2n)!!}(n+1)-\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}n\\
=& \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\left[ \frac{2n+1}{2} -n \right]\\
=& \frac{1}{2}\cdot \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}
\end{aligned}
\]
所以有：
\[
\begin{aligned}
S'(x)-xS'(x) &= \frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4}x^{2}+\dots+\frac{1}{2}\cdot \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}x^{n}+\dots\\
&= \frac{1}{2}S(x)
\end{aligned}
\]
也就是说和函数 \(S(x)\) 满足可分离变量的微分方程：
\[
2(1-x)S'(x)=S(x),\quad S(0)=1
\]
解得：
\[
S(x)=\frac{1}{\sqrt{ 1-x }},\quad x\in [-1,1)
\]
Tip
当然如果你说你直接根据二项式公式注意到最终的结果，那……好吧。
例 3
Example
设数列 \(\left\{ a_{n} \right\}\) 满足 \(a_{0}=0,a_{1}=1\)，\(a_{n+1}=3a_{n}+4a_{n-1}\)，求 \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{n!}x^{n}\) 的收敛域以及和函数
非常好的一道题目，考察了数列极限和使用微分方程求解幂级数两个考点。
Tip
事实上，本题可以直接使用特征方程求出 \(a_{n}\) 的通项，但是这种做法就失去了幂级数练习的意义，所以强行求通项的方法这里不做展开。
首先考虑求收敛半径，考虑使用比值判别法，于是令 \(b_{n+1}= \dfrac{a_{n+1}}{a_{n}}\)，则根据题目给的递推式可以得出：
\[
b_{n+1}=3+\frac{4}{b_{n}}
\]
所以也可以知道 \(b_{n}\geqslant 3\).
考虑先斩后奏，假设 \(\displaystyle \lim_{ n \to \infty }b_{n}\) 存在，并记为 \(b\)，则 \(b\geqslant 3\)，对上式求极限可得：
\[
b=3+\frac{4}{b}
\]
解得极限值为 \(b=4\)，下面通过压缩映像证明确实有 \(\displaystyle \lim_{ n \to \infty }b_{n}=4\)，考虑：
\[
\begin{aligned}
\left| b_{n+1}-4 \right| &= \left| 3+\frac{4}{b_{n}}-4 \right| \\
&= \frac{1}{b_{n}}\left| b_{n}-4 \right| \\
&\leqslant \frac{1}{3}|b_{n}-4|\\
&\leqslant \frac{1}{3^{2}}|b_{n-1}-4|\\
&\leqslant \dots\\
&\leqslant \frac{1}{3^{n-1}}|b_{2}-4|
\end{aligned}
\]
根据比较判别法可知级数 \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}|b_{n+1}-4|\) 收敛，因此根据级数收敛的必要条件可知：
\[
\lim_{ n \to \infty } b_{n}=4
\]
所以收敛半径为：
\[
\begin{aligned}
R &= \lim_{ n \to \infty } \frac{a_{n}/n!}{a_{n+1}/(n+1)!}\\
&= \lim_{ n \to \infty } \frac{n+1}{b_{n+1}}\\
&= +\infty
\end{aligned}
\]
所以收敛半径为 \((-\infty,+\infty)\)
接下来我们求解和函数，记：
\[
S(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{n!}x^{n}
\]
求导得：
\[
S'(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{(n-1)!}x^{n-1}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_{n+1}}{n!}x^{n}
\]
为了利用题目给的递推关系，我们再求一次导，得：
\[
\begin{aligned}
S''(x) &= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n+1}}{(n-1)!}x^{n-1}\\
&= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3a_{n}+4a_{n-1}}{(n-1)!}x^{n-1}\\
&= 3\cdot S'(x)+4\cdot S(x)
\end{aligned}
\]
解此二阶线性齐次微分方程，并结合初值条件 \(S(0)=0,S'(0)=1\)，解得：
\[
S(x)= \frac{1}{5}\mathrm{e}^{ 4x }-\frac{1}{5}\mathrm{e}^{ -x }
\]
下面再来看一道这类题里面非常经典的一道：
例 4
Example
求和函数：
\[
f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{3n}}{(3n)!}
\]
根据指数 3 可以猜测，求 3 阶导之后会和原函数产生一定的关系。
首先，考虑对 \(f(x)\) 逐项求导：
求一阶导数：
\[
f'(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3n \cdot x^{3n-1}}{(3n)!} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{3n-1}}{(3n-1)!} = \frac{x^2}{2!} + \frac{x^5}{5!} + \frac{x^8}{8!} + \cdots
\]
求二阶导数：
\[
f''(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(3n-1)x^{3n-2}}{(3n-1)!} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{3n-2}}{(3n-2)!} = x + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^7}{7!} + \cdots
\]
求三阶导数：
\[
f'''(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(3n-2)x^{3n-3}}{(3n-2)!} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{3n-3}}{(3n-3)!} = 1 + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^6}{6!} + \cdots
\]
变换一下下标可以发现三阶导数这正是原函数本身！因此我们得到了一个三阶常系数线性齐次微分方程：
\[
f'''(x) - f(x) = 0
\]
根据前面写出的展开式，将 \(x = 0\) 代入 \(f(x)\) 及其各阶导数中，可得一下初值条件：\(f(0)=1,f'(0)=f''(0)=0\)
对于微分方程 \(f'''(x) - f(x) = 0\)，其特征方程为：
\[
\lambda^3 - 1 = 0
\]
因式分解得：
\[
(\lambda - 1)(\lambda^2 + \lambda + 1) = 0
\]
解得特征根为：\(\lambda_1 = 1\)，\(\lambda_{2,3} = -\frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{3}}{2}i\)
因此，微分方程的通解为：
\[
f(x) = C_1 \mathrm{e}^x + \mathrm{e}^{-\frac{1}{2}x} \left( C_2 \cos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}x\right) + C_3 \sin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}x\right) \right)
\]
代入初值条件，将求得的常数代回通解，即可得到该幂级数的和函数：
\[
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{3n}}{(3n)!} = \frac{1}{3} \mathrm{e}^{ x } + \frac{2}{3} \mathrm{e}^{-\frac{x}{2}} \cos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}x\right)
\]
以上就是今天分享的 4 道求解幂级数和函数的好题，希望这种求解方法可以给大家带来一些启发呀 ~~~
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