华科数分 ( 区间再现 )
本题是华中科技大学 24 年数分真题中的一道极限好题，常规方法一般考虑将积分区间离散化，然后利用迫敛性得到极限值，但是计算量偏大。事实上，使用区间再现公式即可巧妙化简被积函数，从而轻松解决此题。不熟悉区间再现相关结论的朋友可以参考专题文章：区间再现最全模型
Example
\[
\lim_{ n \to \infty } \frac{1}{n}\int_{0}^{n\pi} \frac{x}{1+n^{2}\cos ^{2}x} \mathrm{~d} x
\]
先看积分部分，我们考虑区间再现：
并且利用：
\[
\int_{0}^{\pi} f(\sin x) \mathrm{~d} x = 2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) \mathrm{~d} x
\]
得：
\[
\begin{aligned}
J &= \int_{0}^{n\pi} \frac{x}{1+n^{2}\cos ^{2}x} \mathrm{~d} x \\
&= \frac{1}{2}\int_{0}^{n\pi} \left( \frac{x}{1+n^{2}\cos ^{2}x} + \frac{n\pi-x}{1+n^{2}\cos ^{2}x} \right) \mathrm{~d} x \\
&= \frac{n\pi}{2}\int_{0}^{n\pi} \frac{1}{1+n^{2}\cos ^{2}x} \mathrm{~d} x \\
&\xlongequal{周期性} \frac{n\pi}{2} \cdot n \int_{0}^{\pi} \frac{1}{1+n^{2}\cos ^{2}x} \mathrm{~d} x \\
&= \frac{n\pi}{2}\cdot n\cdot 2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{1+n^{2}\cos ^{2}x} \mathrm{~d} x \\
&= n^{2}\pi \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sec ^{2}x}{\sec ^{2}x+n^{2}} \mathrm{~d} x \\
&= n^{2}\pi \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\mathrm{~d} \tan x }{\tan ^{2}x+1+n^{2}} \\
&= n^{2}\pi \cdot \frac{1}{\sqrt{ n^{2}+1 }} \arctan \frac{\tan x}{\sqrt{ n^{2}+1 }}\bigg|_{0}^{\frac{\pi}{2}}\\
&= \frac{n^{2}\pi}{\sqrt{ n^{2}+1 }}\cdot \frac{\pi}{2}
\end{aligned}
\]
所以原积分为：
\[
\begin{aligned}
I &= \lim_{ n \to \infty } \frac{1}{n}J\\
&= \lim_{ n \to \infty } \frac{\pi}{2} \cdot \frac{n\pi}{\sqrt{ n^{2}+1 }}\\
&= \frac{\pi^{2}}{2}
\end{aligned}
\]
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