2013 年

Example

已知极限 \(\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{x-\arctan x}{x^k}=c\)，其中 \(k,c\) 为常数，且 \(c\neq 0\)，则 ?

(A) \(k=2,\,c=-\dfrac{1}{2}\).

(B) \(k=2,\,c=\dfrac{1}{2}\).

(C) \(k=3,\,c=-\dfrac{1}{3}\).

(D) \(k=3,\,c=\dfrac{1}{3}\).

Example

曲面 \(x^2+\cos(xy)+yz+x=0\) 在点 \((0,1,-1)\) 处的切平面方程为 ?

(A) \(x-y+z=-2\).

(B) \(x+y+z=0\).

(C) \(x-2y+z=-3\).

(D) \(x-y-z=0\).

Example

设 \(\displaystyle f(x)=\left|x-\frac{1}{2}\right|,\ b_n=2\int_0^1 f(x)\sin n\pi x\,\mathrm{d}n\ (n=1,2,\cdots)\)。令 \(\displaystyle S(x)=\sum_{n=1}^{\infty}b_n\sin n\pi x\)，则 \(\displaystyle S\left(-\frac{9}{4}\right)=\) ?

(A) \(\dfrac{3}{4}\).

(B) \(\dfrac{1}{4}\).

(C) \(-\dfrac{1}{4}\).

(D) \(-\dfrac{3}{4}\).

Example

设 \(L_1:x^2+y^2=1,\ L_2:x^2+y^2=2,\ L_3:x^2+2y^2=2,\ L_4:2x^2+y^2=2\) 为四条逆时针方向的平面曲线。记 \(\displaystyle I_i=\oint_{L_i}\left(y+\frac{y^3}{6}\right)\mathrm{d}x+\left(2x-\frac{x^3}{3}\right)\mathrm{d}y\ (i=1,2,3,4)\)，则 \(\max\{I_1,I_2,I_3,I_4\}=\) ?

(A) \(I_1\).

(B) \(I_2\).

(C) \(I_3\).

(D) \(I_4\).

Example

设 \(A,B,C\) 均为 \(n\) 阶矩阵，若 \(AB=C\)，且 \(B\) 可逆，则 ?

(A) 矩阵 \(C\) 的行向量组与矩阵 \(A\) 的行向量组等价 .

(B) 矩阵 \(C\) 的列向量组与矩阵 \(A\) 的列向量组等价 .

(C) 矩阵 \(C\) 的行向量组与矩阵 \(B\) 的行向量组等价 .

(D) 矩阵 \(C\) 的列向量组与矩阵 \(B\) 的列向量组等价 .

Example

矩阵 \(\begin{pmatrix}1 & a & 1\\a & b & a\\1 & a & 1\end{pmatrix}\) 与 \(\begin{pmatrix}2 & 0 & 0\\0 & b & 0\\0 & 0 & 0\end{pmatrix}\) 相似的充分必要条件为 ?

(A) \(a=0,\,b=2\).

(B) \(a=0,\,b\) 为任意常数 .

(C) \(a=2,\,b=0\).

(D) \(a=2,\,b\) 为任意常数 .

Example

设 \(X_1,X_2,X_3\) 是随机变量，且 \(X_1\sim N(0,1),\ X_2\sim N(0,2^2),\ X_3\sim N(5,3^2)\)，\(p_i=P\{-2\leqslant X_i\leqslant 2\}\ (i=1,2,3)\)，则 ?

(A) \(p_1>p_2>p_3\).

(B) \(p_2>p_1>p_3\).

(C) \(p_3>p_1>p_2\).

(D) \(p_1>p_3>p_2\).

Example

设随机变量 \(X \sim t(n),\,Y \sim F(1,n)\)，给定 \(\alpha\,(0<\alpha<0.5)\)，常数 \(c\) 满足 \(P\{X>c\}=\alpha\)，则 \(P\{Y>c^2\}=\) ?

(A) \(\alpha\).

(B) \(1-\alpha\).

(C) \(2\alpha\).

(D) \(1-2\alpha\).

Example

设函数 \(y=f(x)\) 由方程 \(y-x=\mathrm{e}^{x(1-y)}\) 确定，则 \(\displaystyle \lim_{n\to\infty}n\left[f\left(\frac{1}{n}\right)-1\right]=\) ?

Example

已知 \(y_1=\mathrm{e}^{3x}-x\mathrm{e}^{2x},\,y_2=\mathrm{e}^{x}-x\mathrm{e}^{2x},\,y_3=-x\mathrm{e}^{2x}\) 是某二阶常系数非齐次线性微分方程的 3 个解，则该方程的通解为 \(y=\) ?

Example

设

(\(t\) 为参数 )，则 \(\displaystyle \left.\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}\right|_{t=\frac{\pi}{4}}=\) ?

Example

\(\displaystyle \int_{1}^{+\infty}\frac{\ln x}{(1+x)^2}\mathrm{d}x=\) ?

Example

设 \(A=(a_{ij})\) 是 3 阶非零矩阵，\(|A|\) 为 \(A\) 的行列式，\(A_{ij}\) 为 \(a_{ij}\) 的代数余子式 . 若 \(a_{ij}+A_{ij}=0\,(i,j=1,2,3)\)，则 \(|A|=\) ?

Example

设随机变量 \(Y\) 服从参数为 \(1\) 的指数分布，\(a\) 为常数且大于零，则 \(P\{Y\leqslant a+1\mid Y>a\}=\) ?

Example

计算 \(\displaystyle \int_{0}^{1}\frac{f(x)}{\sqrt{x}}\mathrm{d}x\)，其中 \(\displaystyle f(x)=\int_{1}^{x}\frac{\ln(t+1)}{t}\mathrm{d}t\).

Example

设数列 \(\{a_n\}\) 满足条件：\(a_0=3,\,a_1=1,\,a_{n-2}-n(n-1)a_n=0\ (n\geqslant 2)\)，\(S(x)\) 是幂级数 \(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n\) 的和函数 .

(1) 证明 \(S''(x)-S(x)=0\);

(2) 求 \(S(x)\) 的表达式 .

Example

求函数 \(\displaystyle f(x,y)=\left(y+\frac{x^3}{3}\right)e^{x+y}\) 的极值 .

Example

设奇函数 \(f(x)\) 在 \([-1,1]\) 上具有二阶导数，且 \(f(1)=1\). 证明 :

(1) 存在 \(\xi\in(0,1)\)，使得 \(f'(\xi)=1\);

(2) 存在 \(\eta\in(-1,1)\)，使得 \(f''(\eta)+f'(\eta)=1\).

Example

设直线 \(L\) 过 \(A(1,0,0),B(0,1,1)\) 两点，将 \(L\) 绕 \(z\) 轴旋转一周得到曲面 \(\Sigma\)，\(\Sigma\) 与平面 \(z=0,z=2\) 所围成的立体为 \(\Omega\).

(1) 求曲面 \(\Sigma\) 的方程 ;

(2) 求 \(\Omega\) 的形心坐标 .

Example

设 \(A=\begin{pmatrix}1 & a\\1 & 0\end{pmatrix},\ B=\begin{pmatrix}0 & 1\\1 & b\end{pmatrix}\). 当 \(a,b\) 为何值时，存在矩阵 \(C\) 使得 \(AC-CA=B\)，并求所有矩阵 \(C\).

Example

设二次型 \(f(x_1,x_2,x_3)=2(a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3)^2+(b_1x_1+b_2x_2+b_3x_3)^2\)，记

(1) 证明二次型 \(f\) 对应的矩阵为 \(2\alpha\alpha^\mathrm{T}+\beta\beta^\mathrm{T}\);

(2) 若 \(\alpha,\beta\) 正交且均为单位向量，证明 \(f\) 在正交变换下的标准形为 \(2y_1^2+y_2^2\).

Example

设随机变量 \(X\) 的概率密度为

令随机变量

(1) 求 \(Y\) 的分布函数 ;

(2) 求概率 \(P\{X\leqslant Y\}\).

Example

设总体 \(X\) 的概率密度为

其中 \(\theta\) 为未知参数且大于零 . \(X_1,X_2,\cdots,X_n\) 为来自总体 \(X\) 的简单随机样本 .

(1) 求 \(\theta\) 的矩估计量 ;

(2) 求 \(\theta\) 的最大似然估计量 .