K 值法失效 ?
在上一小节中，我介绍了常数 \(K\) 值法，但是并不是所有类似的题目都能直接采用常数 \(K\) 值法的套路构造出合适的辅助函数，比如本节的这道题。
Example
设 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 二阶可导，且 \(f(a)=f(b)=0\)，证明：存在 \(\xi\in[a,b]\) 使得：
方法 1 ¶
令常数 \(K\) 满足：
直接按照常数 \(K\) 值法进行辅助函数的构造是做不出来的。为了得到 \(f''(\xi) - K = 0\)，我们需要构造一个函数 \(F(x)\)，使其二阶导数为 \(F''(x) = f''(x) - K\)。
注意到二次函数 \(P(x) = (x-a)(x-b)\) 满足 \(P(a) = P(b) = 0\)，且其二阶导数为 \((x-a)(x-b)'' = 2\)。
因此，我们构造辅助函数：
则有 \(F(a)=F(b)=0\)，且对 \(F(x)\) 在 \([a, b]\) 上积分：
设变上限积分函数 \(G(x) = \displaystyle\int_a^x F(t) \mathrm{d}t\)。因为 \(G(a) = 0\) 且 \(G(b) = \displaystyle \int_a^b F(t) \mathrm{d}t = 0\)，由罗尔定理，存在 \(c \in (a,b)\) 使得：\(G'(c) = F(c) = 0\).
至此，我们找到了 \(F(x)\) 在 \([a, b]\) 上的三个零点：\(a, c, b\) （其中 \(a < c < b\)
即：
故：
得证！
事实上，本题通过辅助多项式结合达布定理也可以轻松证明，也就是接下来的方法 2。
方法 2 ¶
设 \(\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{~d} x=c\)，结合 \(f(a)=f(b)=0\)，根据这三个条件我们构造辅助多项式 \(g(x)\)，令 \(\displaystyle g(x)=A(x-a)(x-b)\)，结合 \(\displaystyle \int_{a}^{b} g(x) \mathrm{~d} x=c\)，解得：\(A=-\dfrac{6c}{(b-a)^{3}}\).
即：
得：\(g''(x)=-\dfrac{12c}{(b-a)^{3}}\). 于是我们只需要证明：存在 \(\xi\in[a,b]\) 使得 \(f''(\xi)=g''(\xi)\)。
考虑反证法，由于 Darboux 定理保证了导数具有介值性，因此如果对于任意 \(\xi\in[a,b]\) 都有 \(f''(\xi)\neq g''(\xi)\)，则对于 \(\forall x\in(a,b)\) 有：\(f''(x)>g''(x)\) 或 \(f''(x)<g''(x)\)，即 \(f(x)>g(x)\) 或 \(f(x)<g(x)\)，也就是 \(\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{~d} x>c\) 或 \(\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{~d} x<c\)，显然矛盾！
这样我们就轻松完成了证明，怎么样，和根据常数 \(K\) 值法的思想构造辅助函数的做法相比，你更喜欢哪一种方法呢？
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