2015 年
第 1 题 ¶
Example
设函数 \(f(x)\) 在 \((-\infty,+\infty)\) 上连续，其二阶导数 \(f''(x)\) 的图形如图所示，则曲线 \(y=f(x)\) 的拐点个数为 ?
(A) \(0\).
(B) \(1\).
(C) \(2\).
(D) \(3\).
高中题。选 C。
第 2 题 ¶
Example
设 \(y=\dfrac{1}{2}\mathrm{e}^{2x}+\left(x-\dfrac{1}{3}\right)\mathrm{e}^{x}\) 是二阶常系数非齐次线性微分方程 \(y''+ay'+by=c\mathrm{e}^{x}\) 的一个特解，则 ?
(A) \(a=-3,\,b=2,\,c=-1\).
(B) \(a=3,\,b=2,\,c=-1\).
(C) \(a=-3,\,b=2,\,c=1\).
(D) \(a=3,\,b=2,\,c=1\).
选 A。根据特解得到齐次方程的特征根、非齐次特解，代入即可求出参数。
第 3 题 ¶
Example
若级数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n\) 条件收敛，则 \(x=\sqrt{3}\) 与 \(x=3\) 依次为幂级数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} na_n(x-1)^n\) 的 ?
(A) 收敛点，收敛点 .
(B) 收敛点，发散点 .
(C) 发散点，收敛点 .
(D) 发散点，发散点 .
选 B。根据条件收敛得到收敛半径，然后平移即可。这里利用到逐项求导不改变收敛半径这一性质。
第 4 题 ¶
Example
设 \(D\) 是第一象限中的曲线 \(2xy=1,\,4xy=1\) 与直线 \(y=x,\,y=\sqrt{3}x\) 围成的平面区域，函数 \(f(x,y)\) 在 \(D\) 上连续，则 \(\displaystyle\iint_D f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\) ?
(A) \(\displaystyle\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \mathrm{d}\theta \int_{\frac{1}{2\sin2\theta}}^{\frac{1}{\sin2\theta}} f(r\cos\theta,r\sin\theta)r\,\mathrm{d}r\).
(B) \(\displaystyle\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \mathrm{d}\theta \int_{\frac{1}{\sqrt{2\sin2\theta}}}^{\frac{1}{\sqrt{\sin2\theta}}} f(r\cos\theta,r\sin\theta)r\,\mathrm{d}r\).
(C) \(\displaystyle\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \mathrm{d}\theta \int_{\frac{1}{2\sin2\theta}}^{\frac{1}{\sin2\theta}} f(r\cos\theta,r\sin\theta)\,\mathrm{d}r\).
(D) \(\displaystyle\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \mathrm{d}\theta \int_{\frac{1}{\sqrt{2\sin2\theta}}}^{\frac{1}{\sqrt{\sin2\theta}}} f(r\cos\theta,r\sin\theta)\,\mathrm{d}r\).
送分题，选 B。
第 5 题 ¶
Example
设矩阵
若集合 \(\Omega=\{1,2\}\)，则线性方程组 \(A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}\) 有无穷多解的充分必要条件为 ?
(A) \(a\notin\Omega,\,d\notin\Omega\).
(B) \(a\notin\Omega,\,d\in\Omega\).
(C) \(a\in\Omega,\,d\notin\Omega\).
(D) \(a\in\Omega,\,d\in\Omega\).
选 D，无穷组解得到 \(r(\overline{A})=r(A)<n=3\)，从而 \(|A|=0\)，而 \(|A|\) 是范德蒙行列式，从而得到 \(a\) 的可能取值，分别求出对应的 \(d\) 即可。
这里复习一下范德蒙行列式：
范德蒙行列式
第 6 题 ¶
Example
设二次型 \(f(x_1,x_2,x_3)\) 在正交变换 \(\boldsymbol{x}=P\boldsymbol{y}\) 下的标准形为 \(2y_1^2+y_2^2-y_3^2\)，其中 \(P=(\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3)\)。若 \(Q=(\boldsymbol{e}_1,-\boldsymbol{e}_3,\boldsymbol{e}_2)\)，则 \(f(x_1,x_2,x_3)\) 在正交变换 \(\boldsymbol{x}=Q\boldsymbol{y}\) 下的标准形为 ?
(A) \(2y_1^2-y_2^2+y_3^2\).
(B) \(2y_1^2+y_2^2-y_3^2\).
(C) \(2y_1^2-y_2^2-y_3^2\).
(D) \(2y_1^2+y_2^2+y_3^2\).
选 A，根据标准型和正交矩阵 \(P\) 得到特征值和对应特征向量，再根据 \(Q\) 反推对应的特征值即可。
第 7 题 ¶
Example
若 \(A,B\) 为任意两个随机事件，则 ?
(A) \(P(AB)\leqslant P(A)P(B)\).
(B) \(P(AB)\geqslant P(A)P(B)\).
(C) \(P(AB)\leqslant \dfrac{P(A)+P(B)}{2}\).
(D) \(P(AB)\geqslant \dfrac{P(A)+P(B)}{2}\).
考察加法公式，选 C。
第 8 题 ¶
Example
设随机变量 \(X,Y\) 不相关，且 \(E(X)=2,\,E(Y)=1,\,D(X)=3\)，则 \(E\big[X(X+Y-2)\big]=\) ?
(A) \(-3\).
(B) \(3\).
(C) \(-5\).
(D) \(5\).
根据期望的线性性展开即可，选 D。
第 9 题 ¶
Example
\(\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\ln(\cos x)}{x^2}=\) ?
送分题。
第 10 题 ¶
Example
\(\displaystyle\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left(\frac{\sin x}{1+\cos x}+|x|\right)\mathrm{d}x=\) ?
对称性。
第 11 题 ¶
Example
若函数 \(z=z(x,y)\) 由方程 \(\mathrm{e}^z+xyz+x+\cos x=2\) 确定，则 \(\mathrm{d}z\big|_{(0,1)}=\) ?
对方程求全微分即可。
第 12 题 ¶
Example
设 \(\Omega\) 是由平面 \(x+y+z=1\) 与三个坐标平面所围成的空间区域，则 \(\displaystyle\iiint_\Omega (x+2y+3z)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z=\) ?
轮换对称性，最后一步计算可以直接区间再现。
第 13 题 ¶
Example
\(n\) 阶行列式 \(\begin{vmatrix} 2 & 0 & \cdots & 0 & 2 \\ -1 & 2 & \cdots & 0 & 2 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 2 & 2 \\ 0 & 0 & \cdots & -1 & 2 \end{vmatrix}\)
套路题，所谓的“么”形行列式，按照开口展开即可得到一阶线性递推公式，根据不动点求解数列通项即可。
第 14 题 ¶
Example
设二维随机变量 \((X,Y)\) 服从正态分布 \(N(1,\,0;\,1,\,1;\,0)\)，则 \(P\{XY-Y<0\}=\) ?
二维正态分布满足：独立 \(\iff\) 不相关。
第 15 题 ¶
Example
设函数 \(f(x)=x+a\ln(1+x)+bx\sin x,\,g(x)=kx^3\)。若 \(f(x)\) 与 \(g(x)\) 在 \(x\to 0\) 时是等价无穷小，求 \(a,b,k\) 值。
泰勒即可。
第 16 题 ¶
Example
设函数 \(f(x)\) 在定义域 \(I\) 上的导数大于零。若对任意的 \(x_0\in I\)，曲线 \(y=f(x)\) 在点 \((x_0,f(x_0))\) 处的切线与直线 \(x=x_0\) 及 \(x\) 轴所围成区域的面积恒为 \(4\)，且 \(f(0)=2\)，求 \(f(x)\) 的表达式。
根据题意列出微分方程，求解即可。
第 17 题 ¶
Example
已知函数 \(f(x,y)=x+y+xy\)，曲线 \(C:x^2+y^2+xy=3\)，求 \(f(x,y)\) 在曲线 \(C\) 上的最大方向导数。
方向导数最大值为梯度的模长，从而将问题转化为条件极值问题，换元即可变成二次函数最值问题，从而避免拉格朗日乘数法。
第 18 题 ¶
Example
(1) 设函数 \(u(x),v(x)\) 可导，利用导数定义证明 \([u(x)v(x)]'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)\)；
(2) 设函数 \(u_1(x),u_2(x),\dots,u_n(x)\) 可导，\(f(x)=u_1(x)u_2(x)\cdots u_n(x)\)，写出 \(f(x)\) 的求导公式。
好题，充分考察导数定义的基本功。同济课后题还让证明商的求导公式，方法都是类似的。
第 19 题 ¶
Example
已知曲线 \(L\) 的方程为
起点为 \(A\left(0,\sqrt{2},0\right)\)，终点为 \(B\left(0,-\sqrt{2},0\right)\)，计算曲线积分
曲线方程容易参数化，故直接代入参数方程计算即可。
第 20 题 ¶
Example
设向量组 \(\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3\) 为 \(\mathbb{R}^3\) 的一个基，\(\boldsymbol{\beta}_1=2\boldsymbol{\alpha}_1+2k\boldsymbol{\alpha}_3,\ \boldsymbol{\beta}_2=2\boldsymbol{\alpha}_2,\ \boldsymbol{\beta}_3=\boldsymbol{\alpha}_1+(k+1)\boldsymbol{\alpha}_3\).
(1) 证明向量组 \(\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_2,\boldsymbol{\beta}_3\) 为 \(\mathbb{R}^3\) 的一个基；
(2) 当 \(k\) 为何值时，存在非零向量 \(\boldsymbol{\xi}\) 在基 \(\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3\) 与基 \(\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_2,\boldsymbol{\beta}_3\) 下的坐标相同，并求所有的 \(\boldsymbol{\xi}\).
第一问，证明过渡矩阵可逆即可。
第二问，根据坐标相同列出等式，从而得到齐次线性方程组，求解即可，注意最后求解的是向量 \(\xi\) 而不是其坐标。
第 21 题 ¶
Example
设矩阵
\(A\) 相似于矩阵 \(B\).
(1) 求 \(a,b\) 的值；
(2) 求可逆矩阵 \(P\)，使 \(P^{-1}AP\) 为对角矩阵 .
第一问，根据迹和行列式分别对应相等解方程即可。
第二问，基础题。
第 22 题 ¶
Example
设随机变量 \(X\) 的概率密度为
对 \(X\) 进行独立重复的观测，直到第 \(2\) 个大于 \(3\) 的观测值出现时停止，记 \(Y\) 为观测次数 .
(1) 求 \(Y\) 的概率分布；
(2) 求 \(E(Y)\).
考察负二项分布，其期望和方差公式和几何分布十分类似，而几何分布在 2000 年数一的第 20 题就考察过，和本题求解过程如出一辙，不再过多赘述。
第 23 题 ¶
Example
设总体 \(X\) 的概率密度为
其中 \(\theta\) 为未知参数，\(X_1,X_2,\dots,X_n\) 为来自该总体的简单随机样本 .
(1) 求 \(\theta\) 的矩估计量；
(2) 求 \(\theta\) 的最大似然估计量 .
两问都很基础。
以上就是对于 2015 年数一真题的全部解答，难度较低的一套真题，值得注意的题目有：第 5 题考察范德蒙行列式，第 13 题考察套路型行列式；第 18 题考察基础求导公式的证明；第 22 题考察负二项分布。
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