罕见但巨好用的泰勒展开
下面这几道题或许大家都见过，用常规方法来做每一道题可都不简单，但是如果你学会本节介绍的这个罕见的泰勒展开，相信下次秒杀这些题目的就是你！
Example
\[
\lim_{ x \to +\infty } x^{2}\left[ \mathrm{e}^{ \left( 1+\frac{1}{x} \right)^{x} }- \left( 1+\frac{1}{x} \right)^{ex}\right]
\]
Example
求曲线 \(\displaystyle y=x^{2}\left[ \frac{\left( 1+\frac{1}{x} \right)^{x}}{e}-1 \right],(x>0)\) 的斜渐近线方程。
展！
下面我们就先来介绍今天的主角！
\(x\to 0\) 时，有如下泰勒展开：
\[
(1+x)^{\frac{1}{x}}=e\cdot\left( 1-\frac{x}{2}+\frac{11}{24}x^{2} \right)+o(x^{2})
\]
我们取指对数证明：
\[
\begin{aligned}
(1+x)^{\frac{1}{x}} &= \mathrm{e}^{ \frac{\ln(1+x)}{x} }\\
&= e\cdot \mathrm{e}^{ \frac{\ln(1+x)-x}{x} }\\
&= e\cdot\left[ 1+ \frac{\ln(1+x)-x}{x}+\frac{1}{2!}\left( \frac{\ln(1+x)-x}{x} \right)^{2}+o(x^{2}) \right]\\
&= e\cdot\left[ 1+\left( -\frac{x}{2} \right)+\frac{x^{2}}{3}+\frac{1}{2!}\left( -\frac{x}{2} \right)+o(x^{2}) \right]\\
&= e\cdot\left[ 1-\frac{x}{2}+\frac{11}{24}x^{2}+o(x^{2}) \right]
\end{aligned}
\]
知道了这个泰勒展开，本文开篇提到的两个题目不还是小菜一碟？
先来看第一个题：
极限毕业题
Example
\[
\lim_{ x \to +\infty } x^{2}\left[ \mathrm{e}^{ \left( 1+\frac{1}{x} \right)^{x} }- \left( 1+\frac{1}{x} \right)^{ex}\right]
\]
换个元，令 \(x\to \dfrac{1}{x}\)，则：
\[
I=\lim_{ x \to 0^{+} } \frac{1}{x^{2}} \left[ \mathrm{e}^{ (1+x)^{^\frac{1}{x}} }-(1+x)^{\frac{e}{x}} \right]
\]
考虑对 \(f(x)=\mathrm{e}^{ x }\) 使用拉格朗日中值定理：
\[
\begin{aligned}
\mathrm{e}^{ (1+x)^{\frac{1}{x}} }-(1+x)^{\frac{e}{x}} &= \mathrm{e}^{ (1+x)^{\frac{1}{x}}} - \mathrm{e}^{ \frac{e}{x}\ln(1+x) }\\
&= \mathrm{e}^{ \xi_{x} }\left[ (1+x)^{\frac{1}{x}}-\frac{e}{x}\ln(1+x) \right]
\end{aligned}
\]
其中 \(\xi_{x}\) 介于 \((1+x)^{\frac{1}{x}}\) 和 \(\dfrac{e}{x}\ln(1+x)\) 之间，显然当 \(x\to 0^{+}\) 时，\(\xi_{x}\to e\).
则：
\[
\begin{aligned}
I &= \mathrm{e}^{ e }\lim_{ x \to 0^{+} } \frac{1}{x^{2}}\left[ (1+x)^{\frac{1}{x}}-\frac{e}{x}\ln(1+x) \right]\\
&= \mathrm{e}^{ e }\lim_{ x \to 0^{+} } \frac{1}{x^{2}}\left[ e\cdot\left( 1-\frac{1}{2}x+\frac{11}{24}x^{2}+o(x^{2}) \right) - e\cdot\left( 1-\frac{x}{2}+\frac{x^{2}}{3} +o(x^{2})\right)\right]\\
&= \mathrm{e}^{ e+1 }\lim_{ x \to 0^{+} } \frac{1}{x^{2}} \left[ \left( \frac{11}{24}-\frac{1}{3} \right) x^{2}+o(x^{2}) \right]\\
&= \frac{\mathrm{e}^{ e+1 }}{8}
\end{aligned}
\]
当然本题也可以不使用拉格朗日中值定理，将减号后的那一项提出可以达到相同的效果，大家可以自己尝试一下。
再来看第二道题：
复杂斜渐近线
Example
求曲线 \(\displaystyle y=x^{2}\left[ \frac{\left( 1+\frac{1}{x} \right)^{x}}{e}-1 \right],(x>0)\) 的斜渐近线方程。
本题用到的是 \(x\to +\infty\) 时，\(\left( 1+\frac{1}{x} \right)^{x}\) 的泰勒展开，那么只需要对我们本文的主角做一个倒代换即可，令 \(x=\frac{1}{x}\)，得：
\[
\begin{aligned}
\left( 1+\frac{1}{x} \right)^{x} &= e\cdot\left( 1-\frac{1}{2x}+\frac{11}{24x^{2}} \right)+o\left( \frac{1}{x^{2}} \right)
\end{aligned}
\]
代入即可得到斜渐近线，即：
\[
\begin{aligned}
y &= x^{2}\left[ 1-\frac{1}{2x}+\frac{11}{24x^{2}}-1 \right]\\
&=-\frac{1}{2}x+\frac{11}{24}
\end{aligned}
\]
习题
Q 1
Question
\[
\lim_{ x \to +\infty } \frac{\left( 1+\frac{1}{x} \right)^{x^{2}}}{\mathrm{e}^{ x }}
\]
Answer
这个大家都做过，首先答案排除 1（doge），常规方法直接统一结构后泰勒展开就已经非常快了，下面只是展示一下本文主角，有一说一其实没有常规方法快。
\[
\begin{aligned}
I &= \lim_{ x \to +\infty } \left[ \frac{\left( 1+\frac{1}{x} \right)^{x}}{e} \right]^{x}\\
&= \lim_{ x \to +\infty } \left[ \frac{e\left( 1-\frac{1}{2x} \right)+o\left( \frac{1}{x} \right)}{e} \right]^{x}\\
&= \lim_{ x \to +\infty } \left[ 1-\frac{1}{2x} \right]^{x}
\end{aligned}
\]
现在就变成了常规的 \(1^{\infty}\) 型套路题了，答案为：
\[
\begin{aligned}
I &= \mathrm{e}^{ \displaystyle\lim_{ x \to +\infty } x\cdot \frac{-1}{2x} }\\
&= \mathrm{e}^{ - \frac{1}{2} }
\end{aligned}
\]
Q 2
Question
求曲线 \(\displaystyle y=\frac{x^{1+x}}{(1+x)^{x}},(x>0)\) 的斜渐进线方程。
Answer
\[
\begin{aligned}
y &= \frac{x\cdot x}{(1+x)^{x}}\\
&= x\left( \frac{1}{1+\frac{1}{x}} \right)^{x}\\
&\xlongequal{x:=\frac{1}{t}} \frac{1}{t}\cdot \frac{1}{(1+t)^{1/t}}\\
&= \frac{1}{t}\cdot \frac{1}{e\left( 1-\frac{t}{2} + o(t)\right)}\\
&= \frac{1}{et}\cdot \left[ 1+\frac{t}{2}+o(t) \right]\\
&\xlongequal{t:=\frac{1}{x}} \frac{x}{e}+\frac{1}{2e}
\end{aligned}
\]
所以曲线的斜渐近线方程为 \(y=\displaystyle \frac{x}{e}+\frac{1}{2e}\).
搜一搜
