2000 年
第 1 题 ¶
Example
\(\displaystyle\int_{0}^{1}\sqrt{2x-x^{2}}\,\mathrm{d}x=\) ?
利用定积分的几何意义。
第 2 题 ¶
Example
曲面 \(x^{2}+2y^{2}+3z^{2}=21\) 在点 \((1,-2,2)\) 处的法线方程为 ?
隐函数形式的法向量公式。
第 3 题 ¶
Example
微分方程 \(xy''+3y'=0\) 的通解为 ?
不显含 \(y\)，故换元 \(y'=p,y''=p'\)。后续分离变量即可。
第 4 题 ¶
Example
已知方程组
无解，则 \(a=\) ?
初等行变换化为阶梯型即可。
第 5 题 ¶
Example
设两个相互独立的事件 \(A\) 和 \(B\) 都不发生的概率为 \(\dfrac{1}{9}\)，\(A\) 发生 \(B\) 不发生的概率与 \(B\) 发生 \(A\) 不发生的概率相等，则 \(P(A)=\) ?
两个事件独立，那么他们的对立事件也都是独立的，根据乘法公式化简即可。
第 6 题 ¶
Example
设 \(f(x),g(x)\) 是恒大于零的可导函数，且 \(f'(x)g(x)-f(x)g'(x)< 0\)，则当 \(a< x<b\) 时，有 ?
(A) \(f(x)g(b)>f(b)g(x)\).
(B) \(f(x)g(a)>f(a)g(x)\).
(C) \(f(x)g(x)>f(b)g(b)\).
(D) \(f(x)g(x)>f(a)g(a)\).
高中题，选 A.
第 7 题 ¶
Example
设 \(S:x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}\ (z\geqslant 0)\)，\(S_1\) 为 \(S\) 在第一卦限中的部分，则有 ?
(A) \(\displaystyle\iint_{S}x\,\mathrm{d}S=4\iint_{S_1}x\,\mathrm{d}S\).
(B) \(\displaystyle\iint_{S}y\,\mathrm{d}S=4\iint_{S_1}x\,\mathrm{d}S\).
(C) \(\displaystyle\iint_{S}z\,\mathrm{d}S=4\iint_{S_1}x\,\mathrm{d}S\).
(D) \(\displaystyle\iint_{S}xyz\,\mathrm{d}S=4\iint_{S_1}xyz\,\mathrm{d}S\).
通过普通对称性可排除 ABD 三个选项；C 选项考察轮换对称性，不熟练的朋友可以看往期文章：轮换对称性
第 8 题 ¶
Example
设级数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}u_n\) 收敛，则必收敛的级数为 ?
(A) \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n \frac{u_n}{n}\).
(B) \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}u_n^2\).
(C) \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(u_{2n-1}-u_{2n})\).
(D) \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(u_n+u_{n+1})\).
根据性质 D 选项一眼正确，下面给出其他三个选项的反例：
第 9 题 ¶
Example
设 \(n\) 维列向量组 \(\boldsymbol{\alpha}_1,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_m\ (m<n)\) 线性无关，则 \(n\) 维列向量组 \(\boldsymbol{\beta}_1,\cdots,\boldsymbol{\beta}_m\) 线性无关的充分必要条件为 ?
(A) 向量组 \(\boldsymbol{\alpha}_1,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_m\) 可由向量组 \(\boldsymbol{\beta}_1,\cdots,\boldsymbol{\beta}_m\) 线性表示 .
(B) 向量组 \(\boldsymbol{\beta}_1,\cdots,\boldsymbol{\beta}_m\) 可由向量组 \(\boldsymbol{\alpha}_1,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_m\) 线性表示 .
(C) 向量组 \(\boldsymbol{\alpha}_1,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_m\) 与向量组 \(\boldsymbol{\beta}_1,\cdots,\boldsymbol{\beta}_m\) 等价 .
(D) 矩阵 \(A=(\boldsymbol{\alpha}_1,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_m)\) 与矩阵 \(B=(\boldsymbol{\beta}_1,\cdots,\boldsymbol{\beta}_m)\) 等价 .
矩阵等价 \(\iff\) 秩相等，因此 D 选项显然正确。做是做出来了，但是其他三个选项出的还是很好的，很考察基本功。下面依次分析：
第 10 题 ¶
Example
设二维随机变量 \((X,Y)\) 服从二维正态分布，则随机变量 \(\xi=X+Y\) 与 \(\eta=X-Y\) 不相关的充分必要条件为 ?
(A) \(E(X)=E(Y)\).
(B) \(E(X^2)-[E(X)]^2=E(Y^2)-[E(Y)]^2\).
(C) \(E(X^2)=E(Y^2)\).
(D) \(E(X^2)+[E(X)]^2=E(Y^2)+[E(Y)]^2\).
不相关 \(\iff\) 协方差为 0，化简即可得到方差相等。选 B。
第 11 题 ¶
Example
求 \(\displaystyle \lim_{x\to 0}\left(\frac{2+\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}}{1+\mathrm{e}^{\frac{4}{x}}}+\frac{\sin x}{|x|}\right).\)
\(\mathrm{e}^{ 1/x }\) 结构，显然需要分 \(x\to 0^{+}\) 和 \(x\to 0^{-}\) 两种情况进行讨论，发现极限都是 1.
第 12 题 ¶
Example
设 \(z=f\left(xy,\dfrac{x}{y}\right)+g\left(\dfrac{y}{x}\right)\)，其中 \(f\) 具有二阶连续偏导数，\(g\) 具有二阶连续导数，求 \(\dfrac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}.\)
简单计算题。
第 13 题 ¶
Example
计算曲线积分 \(\displaystyle I=\oint_L \frac{x\,\mathrm{d}y-y\,\mathrm{d}x}{4x^2+y^2}\)，其中 \(L\) 是以点 \((1,0)\) 为中心，\(R\) 为半径的圆周 \((R>1)\)，取逆时针方向。
挖洞 + 格林公式。
第 14 题 ¶
Example
设对于半空间 \(x>0\) 内任意的光滑有向封闭曲面 \(S\)，都有
其中函数 \(f(x)\) 在 \((0,+\infty)\) 内具有连续的一阶导数，且 \(\displaystyle \lim_{x\to 0^+}f(x)=1.\) 求 \(f(x).\)
根据高斯公式得到一个微分方程，求解即可。
第 15 题 ¶
Example
求幂级数 \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^n+(-2)^n}\cdot\frac{x^n}{n}\) 的收敛区间，并讨论该区间端点处的收敛性。
基础题。
第 16 题 ¶
Example
设有一半径为 \(R\) 的球体，\(P_0\) 是此球的表面上的一个定点，球体上任一点的密度与该点到 \(P_0\) 距离的平方成正比（比例常数 \(k>0\)
数一第一次考察和重心相关考点，套公式即可。
第 17 题 ¶
Example
设函数 \(f(x)\) 在 \([0,\pi]\) 上连续，且 \(\displaystyle \int_0^{\pi}f(x)\mathrm{d}x=0,\ \int_0^{\pi}f(x)\cos x\mathrm{d}x=0.\) 试证：在 \((0,\pi)\) 内至少存在两个不同的点 \(\xi_1,\xi_2\)，使 \(f(\xi_1)=f(\xi_2)=0.\)
一类经典问题的母题。
构造变限积分 \(F(x)\)，结合分部积分和积分中值定理得到 \(F(x)\) 的三个零点，连续两次使用罗尔定理即可。
另外需要注意积分中值定理的使用条件，本题中 \(g(x)=\sin x\) 再 \((0,\pi)\) 上不变号，因此满足条件。
经典的衍生问题为如下这题：
Example
设 \(f(x)\) 在 \([0,1]\) 上具有连续导数，且 \(\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{~d} x=\frac{5}{2}\)，\(\displaystyle \int_{0}^{1} xf(x) \mathrm{~d} x=\frac{3}{2}\)，证明：存在 \(\xi \in (0,1)\)，使得 \(f'(\xi)=3\).
之前讲过这个题目的三种方法，其中方法 2 就是采用本题的构造方法进行解决，感兴趣的朋友可以看一看：衍生问题解答
第 18 题 ¶
Example
设矩阵 \(A\) 的伴随矩阵
且 \(ABA^{-1}=BA^{-1}+3E\)，其中 \(E\) 为 \(4\) 阶单位矩阵，求矩阵 \(B.\)
根据伴随矩阵的行列式性质 \(|A^{*}|=|A|^{n-1}\) 求出 \(|A|\)，利用 \(AA^{*}=|A|E\) 化简表达式，从而将 \(B\) 表示出来，转化为求逆问题。
本题涉及到的这个矩阵显然分块求逆最方便。对求逆方法掌握不熟练的朋友可以参考往期文章。逆矩阵最全方法总结
第 19 题 ¶
Example
某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的人数统计 , 然后将 \(\dfrac{1}{6}\) 熟练工支援其他生产部门 , 其缺额由招收新的非熟练工补齐 . 新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有 \(\dfrac{2}{5}\) 成为熟练工 . 设第 \(n\) 年一月份统计的熟练工和非熟练工所占百分比分别为 \(x_n\) 和 \(y_n\), 记成向量 \(\begin{pmatrix} x_n \\ y_n \end{pmatrix}\).
(1) 求 \(\begin{pmatrix} x_{n+1} \\ y_{n+1} \end{pmatrix}\) 与 \(\begin{pmatrix} x_n \\ y_n \end{pmatrix}\) 的关系式并写成矩阵形式 : \(\begin{pmatrix} x_{n+1} \\ y_{n+1} \end{pmatrix} = A\begin{pmatrix} x_n \\ y_n \end{pmatrix}\);
(2) 验证 \(\boldsymbol{\eta}_1=\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix},\boldsymbol{\eta}_2=\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}\) 是 \(A\) 的两个线性无关的特征向量 , 并求出相应的特征值 ;
(3) 当 \(\begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \tfrac{1}{2} \\ \tfrac{1}{2} \end{pmatrix}\) 时 , 求 \(\begin{pmatrix} x_{n+1} \\ y_{n+1} \end{pmatrix}\).
第一问就是翻译题干，没啥说的。
第二问首先验证二者线性无关，再根据特征值的定义求解特征值即可。
第三问考察矩阵求幂，经典套路就是相似对角化后直接对对角矩阵 \(n\) 次幂即可，过程如下：
当然，我们还可以直接待定系数将 \(\left( \frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right)^{T}\) 配凑成 \(\eta_{1},\eta_{2}\) 的线性组合，然后将矩阵的 \(n\) 次幂转换为特征值的 \(n\) 次幂。
第 20 题 ¶
Example
某流水生产线上每个产品不合格的概率为 \(p\ (0<p<1)\), 各产品合格与否相互独立 , 当出现一个不合格产品时即停机检修 . 设开机后第一次停机时已生产了的产品个数为 \(X\). 求 \(X\) 的数学期望 \(E(X)\) 和方差 \(D(X)\).
考察几何分布的期望和方差，利用幂级数即可完成证明。
第 21 题 ¶
Example
设某种元件的使用寿命 \(X\) 的概率密度为
其中 \(\theta>0\) 为未知参数 . 又设 \(x_1,x_2,\cdots,x_n\) 是 \(X\) 的一组样本观测值 , 求参数 \(\theta\) 的最大似然估计值 .
基础题。
以上就是对于 2000 年数一真题的全部解答，整张试卷的计算量和难度都不大，其中第 16 题为数一首次考察重心求法；第 17 题在当年应该算得上难题，现在这种套路已经很常见了；另外第 19 和第 20 题的考法非常经典，值得练习。
- 更多精彩内容欢迎关注我的微信公众号！
搜一搜
