积分求解级数
你能使用 Beta 函数求解下面的级数吗？初见下面的级数问题确实很难想到能利用积分进行求解，快点积累下来吧！
例题 ¶
例 1 ¶
Example
计算级数：\(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac1{(4n+1)(4n+2)(4n+3)(4n+4)}.\)
分析：将其转化为第一类欧拉积分后通过计算定积分得到结果。
解：由贝塔函数与第一类欧拉积分的知识注意到：
\[
\begin{aligned}I&=\int_0^1x^{4n+1-1}(1-x)^{4-1}\,\mathrm{d}x\\
&=\int_0^1x^{4n}(1-x)^3\,\mathrm{d}x\\
&=B(4n+1,4)\\
&=\frac{\Gamma(4n+1)\Gamma(4)}
{\Gamma(4n+5)}\\
&=
\frac{(4n)(4n-1)\cdots1\cdot3!}
{(4n+4)(4n+3)(4n+2)(4n+1)(4n)(4n-1)\cdots1}\\
&=
\frac{3!}
{(4n+4)(4n+3)(4n+2)(4n+1)}.
\end{aligned}
\]
于是级数之和为：
\[
\begin{aligned}S
&=
\sum_{n=0}^{\infty}
\frac1{(4n+1)(4n+2)(4n+3)(4n+4)}\\
&=
\sum_{n=0}^{\infty}
\frac1{3!}
\int_0^1x^{4n}(1-x)^3\,\mathrm{d}x\\
&=
\frac16
\int_0^1
\left(
\sum_{n=0}^{\infty}x^{4n}
\right)
(1-x)^3\,\mathrm{d}x\\
&=
\frac16
\int_0^1
\frac1{1-x^4}
(1-x)^3\,\mathrm{d}x\\
&=
\frac16
\int_0^1
\frac{(1-x)^3}
{(1-x^2)(1+x^2)}
\,\mathrm{d}x\\
&=
\frac16
\int_0^1
\frac{(1-x)^3}
{(1-x)(1+x)(1+x^2)}
\,\mathrm{d}x\\
&=
\frac16
\int_0^1
\frac{(1-x)^2}
{(1+x)(1+x^2)}
\,\mathrm{d}x.
\end{aligned}
\]
现在的问题就转换成了求解这个有理函数积分，很常规的一个问题，我们考虑：
\[
\frac{(1-x)^2}
{(1+x)(1+x^2)}
=
\frac{A}{1+x}
+\frac{Bx+C}{1+x^2},
\]
则：
\[
A(1+x^2)+(Bx+C)(1+x)
=
(1-x)^2.
\]
展开得：
\[
A+Ax^2+Bx+Bx^2+C+Cx
=
1-2x+x^2.
\]
整理：
\[
(A+C)+(A+B)x^2+(B+C)x
=
1-2x+x^2.
\]
比较系数：
\[
\begin{cases}
A+C=1,\\
A+B=1,\\
B+C=-2.
\end{cases}
\]
解得：
\[
\begin{cases}
A=2,\\
B=-1,\\
C=-1.
\end{cases}
\]
于是
\[
\begin{aligned}S
&=
\frac16
\int_0^1
\left(
\frac2{1+x}
-\frac{1+x}{1+x^2}
\right)
\mathrm{d}x\\
&=
\frac13
\int_0^1
\frac{\mathrm{d}(1+x)}{1+x}
-\frac16
\int_0^1
\frac{\mathrm{d}x}{1+x^2}
-\frac16\cdot\frac12
\int_0^1
\frac{\mathrm{d}(1+x^2)}{1+x^2}\\
&=
\frac13\ln(1+x)\Big|_0^1
-\frac16\arctan x\Big|_0^1
-\frac1{12}\ln(1+x^2)\Big|_0^1\\
&=
\frac13\ln2
-\frac16\arctan1
-\frac1{12}\ln2\\
&=
\left(
\frac13-\frac1{12}
\right)\ln2
-\frac16\cdot\frac\pi4\\
&=
\frac3{12}\ln2
-\frac\pi{24}\\
&=
\boxed{
\frac14\ln2-\frac\pi{24}
}.
\end{aligned}
\]
这个方法太妙了！
例 2 ¶
Example
求级数：\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\sum_{m=1}^{\infty}\frac{n^2}{(n+m)!}\) 的和
分析：可以从 Beta 函数：
\[
\int_0^1x^n(1-x)^{m-1}\, \mathrm{d}x
=
\frac{n!(m-1)!}{(n+m)!}
\]
入手，将级数转化成积分形式。
解：设：
\[
S=
\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{m=1}^{\infty}
\frac{n^2}{(n+m)!}.
\]
为了凑出 Beta 函数的形式，我们作如下代数变形：
\[
\begin{aligned}S
&=
\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{m=1}^{\infty}
\frac{n^2}{n!(m-1)!}
\cdot
\frac{n!(m-1)!}{(n+m)!}\\
&=
\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{m=1}^{\infty}
\frac{n^2}{n!(m-1)!}
\int_0^1x^n(1-x)^{m-1}\,\mathrm{d}x\\
&=
\int_0^1
\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{m=1}^{\infty}
\frac{n^2}{n!(m-1)!}
x^n(1-x)^{m-1}
\,\mathrm{d}x\\
&=
\int_0^1
\left(
\sum_{n=1}^{\infty}
\frac{n^2x^n}{n!}
\right)
\left(
\sum_{m=1}^{\infty}
\frac{(1-x)^{m-1}}{(m-1)!}
\right)
\mathrm{d}x
\end{aligned}
\]
这里需要注意，由于最后一行的两个无穷级数都是收敛的，因此最后一个等号才能成立，即把两个独立变量乘积的双重求和拆成两个求和的乘积。
由于：
\[
\frac{n^2x^n}{n!}
=
x\cdot
\frac{nx^{\,n-1}}{(n-1)!},
\]
故：
\[
S
=
\int_0^1
x
\left(
\sum_{n=1}^{\infty}
\frac{nx^{n-1}}{(n-1)!}
\right)
\left(
\sum_{m=1}^{\infty}
\frac{(1-x)^{m-1}}{(m-1)!}
\right)
\mathrm{d}x.
\]
其中：
\[
\begin{aligned}\sum_{n=1}^{\infty}
\frac{nx^{n-1}}{(n-1)!}
&=
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{[(n-1)+1]x^{n-1}}{(n-1)!}\\
&=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{[(n-1)+1]x^{n-1}}{(n-1)!}\\
&=x\sum_{n=2}^{\infty} \frac{x^{n-2}}{(n-2)!}+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n-1}}{(n-1)!}\\
&=xe^x+e^x\\
&=(x+1)e^x,
\end{aligned}
\]
且：
\[
\sum_{m=1}^{\infty}
\frac{(1-x)^{m-1}}{(m-1)!}
=
e^{1-x}.
\]
因此：
\[
\begin{aligned}S
&=
\int_0^1
x(x+1)e^x e^{1-x}
\,\mathrm{d}x\\
&=
\int_0^1
e(x^2+x)\,\mathrm{d}x\\
&=
e\int_0^1(x^2+x)\,\mathrm{d}x\\
&=
e
\left(
\frac13x^3+\frac12x^2
\right)\Bigg|_0^1\\
&=
e\left(\frac13+\frac12\right)\\
&=
\frac{5e}{6}.
\end{aligned}
\]
故：
\[
\boxed{
\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{m=1}^{\infty}
\frac{n^2}{(n+m)!}
=
\frac{5e}{6}
}.
\]
Tip
对于例 2，我们先从 Beta 函数入手将其转换为一个定积分问题，而被积函数又可以根据独立性和收敛性拆成两个级数的乘积，对于拆出来的这两个级数的和函数，都是考研常考的幂级数，应当熟练掌握！
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