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2023 年

第 1 题

Example

曲线 \(y = x\ln\left(\mathrm{e}+\dfrac{1}{x-1}\right)\) 的渐近线方程为 ?

(A) \(y = x+\mathrm{e}\)

(B) \(y = x+\dfrac{1}{\mathrm{e}}\)

(C) \(y = x\)

(D) \(y = x-\dfrac{1}{\mathrm{e}}\)

泰勒即可，选 B。

第 2 题

Example

若微分方程 \(y''+ay'+by=0\) 的解在 \((-\infty,+\infty)\) 上有界，则 ?

(A) \(a<0,\,b>0\)

(B) \(a>0,\,b>0\)

(C) \(a=0,\,b>0\)

(D) \(a=0,\,b<0\)

选 C。由于解有界，所以必须含有三角部分，从而得到对于的特征方程应该满足的条件。

第 3 题

Example

设函数 \(y=f(x)\) 由

\[ \begin{cases} x=2t+|t|\\ y=|t|\sin t \end{cases} \]

确定，则 ?

(A) \(f(x)\) 连续，\(f'(0)\) 不存在

(B) \(f'(0)\) 存在，\(f'(x)\) 在 \(x=0\) 处不连续

(C) \(f'(x)\) 连续，\(f''(0)\) 不存在

(D) \(f''(0)\) 存在，\(f''(x)\) 在 \(x=0\) 处不连续

选 C。研究 \(x=0\) 处这一点的性质的时候最简单的方法是直接使用泰勒拟合，这种方法我们多次使用过，本题就不呈现了。

第 4 题

Example

已知 \(a_n<b_n\ (n=1,2,\dots)\)，若级数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n\) 与 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}b_n\) 均收敛，则“\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n\) 绝对收敛”是“\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}b_n\) 绝对收敛”的 ?

(A) 充分必要条件

(B) 充分不必要条件

(C) 必要不充分条件

(D) 既不充分也不必要条件

选 A。对于一般的级数，绝对收敛可以推出收敛；而对于正项级数，绝对收敛 \(\iff\) 收敛。利用绝对收敛的数列的线性组合仍然绝对收敛即可解决本题。

第 5 题

Example

已知 \(n\) 阶矩阵 \(\boldsymbol{A},\boldsymbol{B},\boldsymbol{C}\) 满足 \(\boldsymbol{ABC}=\boldsymbol{O}\)，\(\boldsymbol{E}\) 为 \(n\) 阶单位矩阵，记矩阵

\[ \begin{pmatrix} \boldsymbol{O} & \boldsymbol{A}\\ \boldsymbol{BC} & \boldsymbol{E} \end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix} \boldsymbol{AB} & \boldsymbol{C}\\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{E} \end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix} \boldsymbol{E} & \boldsymbol{AB}\\ \boldsymbol{AB} & \boldsymbol{O} \end{pmatrix} \]

的秩分别为 \(\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3\)，则 ?

(A) \(\gamma_1\leqslant \gamma_2\leqslant \gamma_3\)

(B) \(\gamma_1\leqslant \gamma_3\leqslant \gamma_2\)

(C) \(\gamma_3\leqslant \gamma_1\leqslant \gamma_2\)

(D) \(\gamma_2\leqslant \gamma_1\leqslant \gamma_3\)

考察分块初等变换以及常用的矩阵秩性质。

对常用秩的性质不熟练的同学可以参考下面这篇文章：矩阵秩大总结

第 6 题

Example

下列矩阵中不能相似于对角矩阵的是 ?

(A) \(\begin{pmatrix} 1 & 1 & a\\ 0 & 2 & 2\\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}\)

(B) \(\begin{pmatrix} 1 & 1 & a\\ 1 & 2 & 0\\ a & 0 & 3 \end{pmatrix}\)

(C) \(\begin{pmatrix} 1 & 1 & a\\ 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}\)

(D) \(\begin{pmatrix} 1 & 1 & a\\ 0 & 2 & 2\\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}\)

选 D，过程如图，很详细：

第 7 题

Example

已知向量

\[ \boldsymbol{\alpha}_1=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix},\boldsymbol{\alpha}_2=\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix},\boldsymbol{\beta}_1=\begin{pmatrix}2\\5\\9\end{pmatrix},\boldsymbol{\beta}_2=\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}, \]

若 \(\boldsymbol{\gamma}\) 既可由 \(\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2\) 线性表示，也可由 \(\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_2\) 线性表示，则 \(\boldsymbol{\gamma}=\) ?

(A) \(k\begin{pmatrix}3\\3\\4\end{pmatrix},\,k\in\mathbb{R}\)

(B) \(k\begin{pmatrix}3\\5\\10\end{pmatrix},\,k\in\mathbb{R}\)

(C) \(k\begin{pmatrix}-1\\1\\2\end{pmatrix},\,k\in\mathbb{R}\)

(D) \(k\begin{pmatrix}1\\5\\8\end{pmatrix},\,k\in\mathbb{R}\)

选 D。根据题意列出线性方程组求解即可。

第 8 题

Example

设随机变量 \(X\) 服从参数为 \(1\) 的泊松分布，则 \(E(|X-EX|)=\) ?

(A) \(\dfrac{1}{\mathrm{e}}\)

(B) \(\dfrac{1}{2}\)

(C) \(\dfrac{2}{\mathrm{e}}\)

(D) \(1\)

选 C。根据离散型随机变量的期望定义进行计算即可，注意巧妙变换下标利用 \(\mathbb{E}(X-1)=0\) 减少计算量。

绝对值结论

事实上，这类绝对值期望是有结论的（这里假设 \(\mu\) 是整数，否则需要下取整）：

\[ \begin{aligned} E|X-\mu| &= \sum_{k=0}^{\mu} (\mu-k)P\left\{ x=k \right\} + \sum_{k=\mu}^{\infty}(k-\mu) P\left\{ x=k \right\} \\ &= 2\sum_{k=0}^{\mu} (\mu-k)P\left\{ x=k \right\} + \sum_{k=0}^{\infty} (k-\mu)P\left\{ x=k \right\}\\ &= E(X-\mu) + 2\sum_{k=0}^{\mu} (\mu-k)P\left\{ x=k \right\}\\ &= 2\sum_{k=0}^{\mu} (\mu-k)P\left\{ x=k \right\} \end{aligned} \]

连续型有类似的结论：

\[ E|X-\mu| = 2\int_{-\infty}^{\mu} (\mu-x)f(x) \mathrm{~d} x =2\int_{\mu}^{+\infty} (x-\mu)f(x) \mathrm{~d} x \]

下面我们来看看方差：

\[ \begin{aligned} DX &= D(X-\mu)\\ &= E(X-\mu)^{2} - E^{2}(X-\mu)\\ &= E(X-\mu)^{2} \end{aligned} \]

所以有：

\[ \begin{aligned} D|X-\mu| &= E|X-\mu|^{2}-E^{2}|X-\mu|\\ &= E(X-\mu)^{2}-E^{2}|X-\mu|\\ &= DX-E^{2}|X-\mu| \end{aligned} \]

这些结论都很容易推导，没必要刻意记忆。

第 9 题

Example

设 \(X_1,X_2,\dots,X_n\) 为来自总体 \(N(\mu_1,\sigma^2)\) 的简单随机样本，\(Y_1,Y_2,\dots,Y_m\) 为来自总体 \(N(\mu_2,2\sigma^2)\) 的简单随机样本，且两样本相互独立，记

\[ \overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i,\quad \overline{Y}=\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m Y_i,\quad S_1^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i-\overline{X})^2,\quad S_2^2=\frac{1}{m-1}\sum_{i=1}^m (Y_i-\overline{Y})^2, \]

则 ?

(A) \(\dfrac{S_1^2}{S_2^2}\sim F(n,m)\)

(B) \(\dfrac{S_1^2}{S_2^2}\sim F(n-1,m-1)\)

(C) \(\dfrac{2S_1^2}{S_2^2}\sim F(n,m)\)

(D) \(\dfrac{2S_1^2}{S_2^2}\sim F(n-1,m-1)\)

结论题，选 D。

第 10 题

Example

设 \(X_1,X_2\) 为来自总体 \(N(\mu,\sigma^2)\) 的简单随机样本，其中 \(\sigma(\sigma>0)\) 是未知参数。若 \(\hat{\sigma}=a|X_1-X_2|\) 为 \(\sigma\) 的无偏估计，则 \(a=\) ?

(A) \(\dfrac{\sqrt{\pi}}{2}\)

(B) \(\dfrac{\sqrt{2\pi}}{2}\)

(C) \(\sqrt{\pi}\)

(D) \(\sqrt{2\pi}\)

选 A。直接套定义即可。

第 11 题

Example

当 \(x\to 0\) 时，函数 \(f(x)=ax+bx^2+\ln(1+x)\) 与 \(g(x)=\mathrm{e}^{x^2}-\cos x\) 是等价无穷小，则 \(ab=\) ?

泰勒。

第 12 题

Example

曲面 \(z=x+2y+\ln(1+x^2+y^2)\) 在点 \((0,0,0)\) 处的切平面方程为 ?

套公式即可。

第 13 题

Example

设 \(f(x)\) 为周期为 \(2\) 的周期函数，且 \(f(x)=1-x,\,x\in[0,1]\)，若

\[ f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos n\pi x, \]

则 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_{2n}=\) ?

热门考点傅里叶级数，纯套公式。

第 14 题

Example

设连续函数 \(f(x)\) 满足 \(f(x+2)-f(x)=x\)，\(\displaystyle\int_0^2 f(x)\mathrm{d}x=0\)，则 \(\displaystyle\int_1^3 f(x)\mathrm{d}x=\) ?

两种方法，第一种方法直接拆分积分区间并换元。

第二种方法，构造变限积分。

第 15 题

Example

已知向量

\[ \boldsymbol{\alpha}_1=\begin{pmatrix}1\\0\\1\\1\end{pmatrix},\boldsymbol{\alpha}_2=\begin{pmatrix}-1\\-1\\1\\0\end{pmatrix},\boldsymbol{\alpha}_3=\begin{pmatrix}0\\1\\-1\\1\end{pmatrix},\boldsymbol{\beta}=\begin{pmatrix}1\\1\\1\\-1\end{pmatrix}, \]

\(\boldsymbol{\gamma}=k_1\boldsymbol{\alpha}_1+k_2\boldsymbol{\alpha}_2+k_3\boldsymbol{\alpha}_3\)，若 \(\boldsymbol{\gamma}^T\boldsymbol{\alpha}_i=\boldsymbol{\beta}^T\boldsymbol{\alpha}_i\ (i=1,2,3)\)，则 \(k_1^2+k_2^2+k_3^2=\) ?

注意到 \(\alpha_{i}\) 两两正交，因此 \(k_{i}\) 都可以求出来。

第 16 题

Example

设随机变量 \(X\) 与 \(Y\) 相互独立，且 \(X\sim B\left(1,\dfrac{1}{3}\right)\)，\(Y\sim B\left(2,\dfrac{1}{2}\right)\)，则 \(P\{X=Y\}=\) ?

基础题。

第 17 题

Example

设曲线 \(y=y(x)\ (x>0)\) 经过点 \((1,2)\)，该曲线上任一点 \(P(x,y)\) 到 \(y\) 轴的距离等于该点处的切线在 \(y\) 轴上的截距。

(1) 求 \(y(x)\)；

(2) 求函数 \(\displaystyle f(x)=\int_{1}^{x}y(t)\mathrm{d}t\) 在 \((0,+\infty)\) 上的最大值。

第一问，根据题意列出微分方程求解即可。

第二问，一元函数极值问题。

第 18 题

Example

求函数 \(f(x,y)=(y-x^2)(y-x^3)\) 的极值。

基础题，注意计算细节。

第 19 题

Example

设空间有界区域 \(\Omega\) 由柱面 \(x^2+y^2=1\) 与平面 \(z=0\) 和 \(x+z=1\) 围成，\(\Sigma\) 为 \(\Omega\) 边界的外侧，计算曲面积分

\[ I=\iint_{\Sigma}2xz\,\mathrm{d}y\mathrm{d}z+xz\cos y\,\mathrm{d}z\mathrm{d}x+3yz\sin x\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y. \]

直接运用高斯公式即可，在二重积分计算过程中，可以直接使用极坐标进行计算：

也可以利用轮换对称性降低计算量，过程如下：

第 20 题

Example

设函数 \(f(x)\) 在 \([-a,a]\) 上具有二阶连续导数，证明：

(1) 若 \(f(0)=0\)，则存在 \(\xi\in(-a,a)\)，使得 \(\displaystyle f''(\xi)=\frac{1}{a^2}\big[f(a)+f(-a)\big]\)；

(2) 若 \(f(x)\) 在 \((-a,a)\) 内取得极值，则存在 \(\eta\in(-a,a)\)，使得 \(\displaystyle |f''(\eta)|\geqslant \frac{1}{2a^2}\big|f(a)-f(-a)\big|\)。

两问都是泰勒公式的基础运用。

第一问，已知 \(f(0)=0\)，且待证式涉及到 \(f(a)\) 和 \(f(-a)\)，故将其在 \(x=0\) 处展开即可。

第二问，根据 \(\mathrm{Fermat}\) 引理得到极值点处有 \(f(x_{0})=0\)，故将 \(f(a)\) 和 \(f(-a)\) 在 \(x=x_{0}\) 处展开即可。

第 21 题

Example

已知二次型 \(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+2x_3^2+2x_1x_2-2x_1x_3\)，\(g(y_1,y_2,y_3)=y_1^2+y_2^2+y_3^2+2y_2y_3\)。

(1) 求可逆变换 \(\boldsymbol{x}=\boldsymbol{P}\boldsymbol{y}\)，将 \(f(x_1,x_2,x_3)\) 化为 \(g(y_1,y_2,y_3)\)；

(2) 是否存在正交变换 \(\boldsymbol{x}=\boldsymbol{Q}\boldsymbol{y}\)，将 \(f(x_1,x_2,x_3)\) 化为 \(g(y_1,y_2,y_3)\)。

第一问，配方即可，纯送分。

第二问，正交变化前后不改变矩阵的迹，而 \(tr(A)\neq tr(B)\)，因此不存在。

第 22 题

Example

设二维随机变量 \((X,Y)\) 的概率密度为

\[ f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{2}{\pi}\big(x^2+y^2\big),&x^2+y^2\leqslant 1\\[4pt] 0,&\text{其他} \end{cases} \]

(1) 求 \(X\) 与 \(Y\) 的协方差；

(2) 判断 \(X\) 与 \(Y\) 是否相互独立；

(3) 求 \(Z=X^2+Y^2\) 的概率密度。

第一问，根据二维随机变量的期望定义计算即可。

第二问，注意到二维联合概率密度函数无法将 \(x\) 和 \(y\) 独立拆开（从定义域也可以看出这一点），因此显然不独立，过程书写直接验证 \(f(x,y)=f_{X}(x)f_{Y}(y)\) 不成立即可。

第三问，使用分布函数法即可。

以上就是对于 2023 年数一真题的全部解答，难度不大的一套真题，难度主要集中在选填；大题部分处理第 20 题都很基础。选择题部分 3 和 4 都是很好的概念题；第 8 题我推广了一般情况下的这类绝对值期望方差问题的相关结论，建议自行推导一遍加深理解；填空部分第 14 题算是比较有意思的一道小题，方法很多。

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