1991 年
第 1 题 ¶
Example
设 \(\begin{cases} x=1+t^2 \\ y=\cos t \end{cases}\)，则 \(\dfrac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2} =\) ?
参数方程求导，都转化为关于 \(t\) 求导即可。本题函数简单，直接计算即可，若遇到复杂函数，比如2026 年江苏省第二十三届高等数学竞赛的第一道大题，可以考虑使用化简后的公式进行计算，即：
第 2 题 ¶
Example
由方程 \(\displaystyle xyz+\sqrt{x^2+y^2+z^2}=\sqrt{2}\) 所确定的函数 \(z=z(x,y)\) 在点 \((1,0,-1)\) 处的全微分 \(\mathrm{d}z=\) ?
两种做法，一是考虑直接用全微分的定义：\(\mathrm{~d} z=\displaystyle\frac{ \partial z }{ \partial x }\mathrm{~d} x+\frac{ \partial z }{ \partial y }\mathrm{~d} y\)；另一种做法是直接对题设方程两边同时全微分。我习惯使用后者，过程如下：
第 3 题 ¶
Example
已知两条直线方程为 \(L_1:\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-2}{0}=\dfrac{z-3}{-1},\ L_2:\dfrac{x+2}{2}=\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z}{1}\)，则过 \(L_1\) 且平行于 \(L_2\) 的平面方程是 ?
求出法向量后结合所过定点即可。
第 4 题 ¶
Example
已知当 \(x\to 0\) 时，\((1+ax^2)^{\frac{1}{3}}-1\) 与 \(\cos x-1\) 是等价无穷小，则常数 \(a=\) ？
基础的等价无穷小公式。
第 5 题 ¶
Example
设 4 阶矩阵 \(\displaystyle A=\begin{pmatrix} 5 & 2 & 0 & 0\\ 2 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & -2\\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}\)，则 \(A\) 的逆矩阵 \(A^{-1}=\) ？
分块求解即可。
如果只会用定义和初等变换求解逆矩阵，可以看看我之前的这篇文章，详细介绍了所有和逆矩阵有关的方法，非常全面：逆矩阵方法大全
第 6 题 ¶
Example
曲线 \(\displaystyle y=\frac{1+\mathrm{e}^{-x^2}}{1-\mathrm{e}^{-x^2}}\) ？
(A) 没有渐近线
(B) 仅有水平渐近线
(C) 仅有铅直渐近线
(D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线
\(x\to 0\) 时分母无定义，求解极限发现是铅直渐近线；然后考虑 \(x\to +\infty\) 和 \(x\to -\infty\) 的情况，发现函数均趋近 \(1\)，因此可画出草图，选 D。
第 7 题 ¶
Example
若连续函数 \(f(x)\) 满足关系式 \(\displaystyle f(x)=\int_{0}^{2x}f\left(\frac{t}{2}\right)\mathrm{d}t+\ln 2\)，则 \(f(x)\) 等于 ？
(A) \(\mathrm{e}^{x}\ln 2\)
(B) \(\mathrm{e}^{2x}\ln 2\)
(C) \(\mathrm{e}^{x}+\ln 2\)
(D) \(\mathrm{e}^{2x}+\ln 2\)
求导解微分方程即可，答案选 B。
第 8 题 ¶
Example
已知级数 \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}a_{n}=2,\ \sum_{n=1}^{\infty}a_{2n-1}=5\)，则级数 \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\) 等于 ？
(A) \(3\)
(B) \(7\)
(C) \(8\)
(D) \(9\)
考虑奇数项部分和、偶数项部分和和题干所给交错级数部分和的关系。发现后者是由前两者作差所得，因此知二推一，得到答案。
第 9 题 ¶
Example
设 \(D\) 是平面 \(xOy\) 上以 \((1,1),(-1,1),(-1,-1)\) 为顶点的三角形区域，\(D_1\) 是 \(D\) 在第一象限的部分，则 \(\displaystyle \iint_{D}(xy+\cos x\sin y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\) 等于 ?
(A) \(\displaystyle 2\iint_{D_1}\cos x\sin y\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y\)
(B) \(\displaystyle 2\iint_{D_1}xy\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y\)
(C) \(\displaystyle 4\iint_{D_1}(xy+\cos x\sin y)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y\)
(D) \(0\)
画出积分区域，反复利用对称性即可。选 A。
第 10 题 ¶
Example
设 \(n\) 阶矩阵 \(A,B,C\) 满足关系式 \(ABC=E\)，其中 \(E\) 为 \(n\) 阶单位矩阵，则必有 ?
(A) \(ACB=E\)
(B) \(CBA=E\)
(C) \(BAC=E\)
(D) \(BCA=E\)
左乘 \(A^{-1}\) ，右乘 \(A\)，可得 D 选项正确。
第 11 题 ¶
Example
求 \(\displaystyle \lim_{x\to 0^+}\big(\cos\sqrt{x}\big)^{\frac{\pi}{x}}\).
\(1^{\infty}\) 型套路题。
第 12 题 ¶
Example
设 \(\boldsymbol{n}\) 是曲面 \(2x^2+3y^2+z^2=6\) 在点 \(P(1,1,1)\) 处的指向外侧的法向量，求函数 \(\displaystyle u=\frac{\sqrt{6x^2+8y^2}}{z}\) 在点 \(P\) 处沿方向 \(\boldsymbol{n}\) 的方向导数 .
套用隐函数形式的法向量公式，从而得到方向余弦。结合函数在 \(P\) 点的梯度即可求出方向导数。
第 13 题 ¶
Example
求 \(\displaystyle \iiint_{\Omega}(x^2+y^2+z)\mathrm{d}v\)，其中 \(\Omega\) 是由曲线 \(\begin{cases}y^2=2z,\\x=0\end{cases}\) 绕 \(z\) 轴旋转一周而成的曲面与平面 \(z=4\) 所围成的立体 .
首先求出绕 \(z\) 轴旋转所得曲面，画出草图发现使用截面法求解三重积分最简单。
第 14 题 ¶
Example
在过点 \(O(0,0)\) 和点 \(A(\pi,0)\) 的曲线族 \(y=a\sin x\ (a>0)\) 中，求一条曲线 \(L\)，使沿该曲线从 \(O\) 到 \(A\) 的曲线积分 \(\displaystyle \int_{L}\big(1+y^3\big)\mathrm{d}x+(2x+y)\mathrm{d}y\) 的值最小 .
补线法 + \(\mathrm{Green}\) 公式。
Tip
需要注意题目所给曲线的方向是负向，不要把负号漏了。
然后问题就变成了一元函数最值问题，求导找驻点即可。
第 15 题 ¶
Example
将函数 \(f(x)=2+|x|\ (-1\leqslant x\leqslant 1)\) 展开成以 \(2\) 为周期的傅里叶级数，并由此求级数 \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\) 的和 .
\(f(x)\) 已经是偶函数了，所以只需要进行周期延拓。接下来无脑套公式即可。因为这是真题中第一次出现这个考点，所以下面把相关公式复习一下，之后不再赘述。
公式复习
设 \(f(x)\) 是 \((-\infty,+\infty)\) 上以 \(2l\) 为周期的函数，且在 \([-l,+l]\) 上可积，则 \(f(x)\) 以 \(2l\) 为周期的傅里叶级数为：
其中：
特别地，有周期为 \(2\pi\) 的情况、有 \(f(x)\) 是奇函数对应正弦级数的情况、有 \(f(x)\) 是偶函数对应余弦级数的情况，公式都是类似的，结合奇偶性对上述公式进行化简即可。
本题第一问过程如下：
至于第二问，是巴塞尔问题，这个结论在之前介绍取整函数积分专题时使用过，忘记的朋友可以参考下面这篇文章复习一下。竟然是“高中题”
本题让你用第一问求出来的傅里叶级数进行求解，我们对求出来的级数令 \(x=0\) 可以得到奇数项平方倒数和的结论，而偶数项的和可以提出 \(\frac{1}{4}\) 后还原为原问题，即：
解出 \(S\) 即可，过程如下：
Tip
如果对巴塞尔问题感兴趣的话，欢迎来看我写的科普文章 跨越百年的智力接力：从巴塞尔问题到黎曼猜想 放松一下！
第 16 题 ¶
Example
设函数 \(f(x)\) 在 \([0,1]\) 上连续 , 在 \((0,1)\) 内可导 , 且 \(3\displaystyle \int_{\frac{2}{3}}^{1}f(x)\mathrm{d}x=f(0)\), 证明 : 在 \((0,1)\) 内存在一点 \(c\), 使得 \(f'(c)=0\).
我说这是真题里最简单的中值定理题目，一个没有人有意见吧 : ）
通过积分中值定理找到 \(f(\xi)=f(0)\)，运用 \(\mathrm{Rolle}\) 定理即可。
第 17 题 ¶
Example
设 \(\boldsymbol{\alpha}_1=(1,0,2,3),\boldsymbol{\alpha}_2=(1,1,3,5),\boldsymbol{\alpha}_3=(1,-1,a+2,1),\boldsymbol{\alpha}_4=(1,2,4,a+8)\) 及 \(\boldsymbol{\beta}=(1,1,b+3,5)\).
（1）\(a,b\) 为何值时 , \(\boldsymbol{\beta}\) 不可由 \(\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3,\boldsymbol{\alpha}_4\) 线性表示 ?
（2）\(a,b\) 为何值时 , \(\boldsymbol{\beta}\) 可由 \(\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3,\boldsymbol{\alpha}_4\) 唯一线性表示 ? 并写出该表达式 .
按列拼起来构成线性方程组，行变换化为阶梯型即可。
第二问考察何时方程组有唯一解，事实上，问题表述等价于 \(\alpha_{1}\dots\alpha_{4}\) 线性无关，即系数矩阵满秩。这一等价关系我在1988 年数一第 12 题的讲解中拓展过，忘记的朋友可以复习一下。
因此第二问过程如下：
第 18 题 ¶
Example
设 \(A\) 为 \(n\) 阶正定矩阵 , \(E\) 为 \(n\) 阶单位矩阵 , 证明 : \(|A+E|>1\).
正定矩阵的性质告诉我们他的特征值都是大于 0 的，那么加上一个单位阵之后特征值就都是大于 1 的了，而行列式的值又等于特征值的乘积，因此得证。
第 19 题 ¶
Example
在上半平面求一条向上凹的曲线 , 其上任意一点 \(P(x,y)\) 处的曲率等于此曲线在该点的法线段 \(PQ\) 长度的倒数 (\(Q\) 是法线与 \(x\) 轴的交点 ), 且曲线在点 \((1,1)\) 处的切线与 \(x\) 轴平行 .
这道题我比较喜欢，一方面是考察了冷门考点“曲率”，另一方面是问题比较综合。
首先根据曲率等于 \(\dfrac{1}{|PQ|}\) 得到微分方程：\(yy''=1+(y')^{2}\)，这是一个不显含 \(x\) 的二阶微分方程，故采用换元 \(y'=p\)，\(y''=p\dfrac{\mathrm{~d} p}{\mathrm{~d} y}\)，代入化简，分离变量得到关于 \(y\) 的一个一阶微分方程，再次分离变量，积分即可得到 \(y\) 和 \(x\) 的关系式。
注意在得到 \(y\) 的一阶微分方程的过程中会出现开方操作，而在这步之后我都是一直带着 \(\pm\) 号进行运算的。最后得到 \(\ln(y+\sqrt{ y^{2}-1 })=\pm(x-1)\)，现在问题就是这个方程怎么解。首先两边取指数消去对数：
考虑对偶式：
因此：
所以得到方程组：
两式相减除以二即可得到最终的答案。具体过程如下，写的有点乱，所以上面文字解析部分写的比较详细。
第 20 题 ¶
Example
设随机变量 \(X\) 服从均值为 \(2\)、方差为 \(\sigma^2\) 的正态分布 , 且 \(P\{2<X<4\}=0.3\), 则 \(P\{X<0\}=\) ?
化为标准正态分布，求出 \(\Phi\left( \dfrac{2}{\sigma} \right)\) ，结合公式 \(\Phi(-a)=1-\Phi(a)\) 即可。
第 21 题 ¶
Example
随机地向半圆 \(0<y<\sqrt{2ax-x^2}\ (a>0)\) 内掷一点 , 点落在半圆内任何区域的概率与该区域的面积成正比 , 则原点与该点的连线与 \(x\) 轴的夹角小于 \(\dfrac{\pi}{4}\) 的概率为 ?
画图求面积，一个三角形 + 一个四分之一圆。
第 22 题 ¶
Example
设二维随机变量 \((X,Y)\) 的概率密度为
求随机变量 \(Z=X+2Y\) 的分布函数 .
求的就是分布函数，因此直接用分布函数法即可。在哪求概率就在哪求积分。
以上就是对于 1991 年数一真题的全部解答，总体来看难度比较低，但还是有一定计算量的。其中第 19 题是一道非常好的题，很值得练习！
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