2018 年
第 1 题 ¶
Example
下列函数中，在 \(x = 0\) 处不可导的是 ?
(A) \(f ( x ) = | x | \sin | x | .\)
(B) \(f ( x ) = | x | \sin { \sqrt { | x | } } .\)
(C) \(f ( x ) = \cos | x | .\)
(D) \(f ( x ) = \cos { \sqrt { | x | } } .\)
在 \(x=0\) 处泰勒拟合一下即可，D 选项根据导数定义判断即可。选 D。
第 2 题 ¶
Example
过点 \((1,0,0),(0,1,0)\), 且与曲面 \(z=x^2+y^2\) 相切的平面为 ?
(A) \(z=0\) 与 \(x+y-z=1\).
(B) \(z=0\) 与 \(2x+2y-z=2\).
(C) \(x=y\) 与 \(x+y-z=1\).
(D) \(x=y\) 与 \(2x+2y-z=2\).
设切点，列出等式求出有两个满足条件的切点，依次求解切平面方程即可。
第 3 题 ¶
Example
\(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \frac{2n+3}{(2n+1)!} =\) ?
(A) \(\sin 1+\cos 1\).
(B) \(2\sin 1+\cos 1\).
(C) \(2\sin 1+2\cos 1\).
(D) \(2\sin 1+3\cos 1\).
泰勒，选 B。
Tip
第 4 题 ¶
Example
设 \(M=\displaystyle\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{(1+x)^2}{1+x^2}\mathrm{d}x,\ N=\displaystyle\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1+x}{\mathrm{e}^x}\mathrm{d}x,\ K=\displaystyle\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\big(1+\sqrt{\cos x}\big)\mathrm{d}x,\) 则 ?
(A) \(M>N>K\).
(B) \(M>K>N\).
(C) \(K>M>N\).
(D) \(K>N>M\).
选 C，根据对称性得到 \(M=\pi\)，一般有一个能算出来具体值，那么另外两个定性分析大概率就在这个值的两侧，本题就是这样。
第 5 题 ¶
Example
下列矩阵中 , 与矩阵 \(\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\) 相似的为 ?
(A) \(\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\).
(B) \(\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\).
(C) \(\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\).
(D) \(\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\).
只有 \(A\) 选项满足 \(r(I-A选项矩阵)=r(I-题干矩阵)\)。
第 6 题 ¶
Example
设 \(A,B\) 为 \(n\) 阶矩阵 , 记 \(r(X)\) 为矩阵 \(X\) 的秩 , \((X,Y)\) 表示分块矩阵 , 则 ?
(A) \(r(A,AB)=r(A)\).
(B) \(r(A,BA)=r(A)\).
(C) \(r(A,B)=\max\{r(A),r(B)\}\).
(D) \(r(A,B)=r\big(A^\mathrm{T},B^\mathrm{T}\big)\).
C 选项显然错，其余选项分块即可，答案选 A。
第 7 题 ¶
Example
设随机变量 \(X\) 的概率密度 \(f(x)\) 满足 \(f(1+x)=f(1-x)\), 且 \(\displaystyle\int_{0}^{2}f(x)\mathrm{d}x=0.6,\) 则 \(P\{X<0\}=\) ?
(A) \(0.2\).
(B) \(0.3\).
(C) \(0.4\).
(D) \(0.5\).
送分题。
第 8 题 ¶
Example
设总体 \(X\) 服从正态分布 \(N(\mu,\sigma^2)\). \(X_1,X_2,\cdots,X_n\) 是来自总体 \(X\) 的简单随机样本 , 据此样本检验假设 : \(H_0:\mu=\mu_0,\ H_1:\mu\neq\mu_0\), 则 ?
(A) 如果在检验水平 \(\alpha=0.05\) 下拒绝 \(H_0\), 那么 \(\alpha=0.01\) 下必拒绝 \(H_0\).
(B) 如果在检验水平 \(\alpha=0.05\) 下拒绝 \(H_0\), 那么 \(\alpha=0.01\) 下必接受 \(H_0\).
(C) 如果在检验水平 \(\alpha=0.05\) 下接受 \(H_0\), 那么 \(\alpha=0.01\) 下必拒绝 \(H_0\).
(D) 如果在检验水平 \(\alpha=0.05\) 下接受 \(H_0\), 那么 \(\alpha=0.01\) 下必接受 \(H_0\).
分 \(\sigma^{2}\) 已知和未知两种情况来看，发现在 \(\alpha\) 变小的时候接受域都会变大，故选 D。
第 9 题 ¶
Example
若 \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\left(\frac{1-\tan x}{1+\tan x}\right)^{\frac{1}{\sin kx}}=\mathrm{e},\) 则 \(k=\) ?
\(1^{\infty}\) 型套路题。
第 10 题 ¶
Example
设函数 \(f(x)\) 具有 2 阶连续导数 . 若曲线 \(y=f(x)\) 过点 \((0,0)\) 且与曲线 \(y=2^x\) 在点 \((1,2)\) 处相切 , 则 \(\displaystyle\int_{0}^{1}x f''(x)\mathrm{d}x=\) ?
和 2005 年数一第 17 题如出一辙，利用分部积分降低导数的阶即可。
第 11 题 ¶
Example
设 \(\boldsymbol{F}(x,y,z)=xy\boldsymbol{i}-yz\boldsymbol{j}+zx\boldsymbol{k}\)，则 \(\operatorname{rot}\boldsymbol{F}(1,1,0)=\) ?
套公式即可。
第 12 题 ¶
Example
设 \(L\) 为球面 \(x^2+y^2+z^2=1\) 与平面 \(x+y+z=0\) 的交线，则 \(\displaystyle\oint_L xy\,\mathrm{d}s=\) ?
好题。交线为过圆心的大圆，使用轮换对称性并凑出曲线方程即可。
第 13 题 ¶
Example
设 \(2\) 阶矩阵 \(A\) 有两个不同特征值，\(\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2\) 是 \(A\) 的线性无关的特征向量，且满足 \(A^2(\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2)=\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2\)，则 \(|A|=\) ?
\(A\) 的特征向量一定是 \(A^{n}\) 的特征向量，代入题目等式得到 \(\lambda_{1}^{2}=\lambda_{2}^{2}=1\)，而 \(A\) 的两个特征值是不等的，所以 \(|A|=\lambda_{1}\lambda_{2}=-1\).
第 14 题 ¶
Example
设随机事件 \(A\) 与 \(B\) 相互独立，\(A\) 与 \(C\) 相互独立，\(BC=\varnothing\). 若 \(P(A)=P(B)=\dfrac{1}{2}\)，\(P(AC\mid AB\cup C)=\dfrac{1}{4}\)，则 \(P(C)=\) ?
基础题。
第 15 题 ¶
Example
求不定积分 \(\displaystyle\int \mathrm{e}^{2x}\arctan\sqrt{\mathrm{e}^x-1}\,\mathrm{d}x\).
换元后分部积分即可。
Tip
同年数三考了一道类似的不定积分题目如下，可以自行练习：
第 16 题 ¶
Example
将长为 \(2\,\mathrm{m}\) 的铁丝分成三段，依次围成圆、正方形与正三角形 . 三个图形的面积之和是否存在最小值？若存在，求出最小值 .
高中题，使用权方和不等式即可。
第 17 题 ¶
Example
设 \(\Sigma\) 是曲面 \(x=\sqrt{1-3y^2-3z^2}\) 的前侧，计算曲面积分
补面加高斯。
第 18 题 ¶
Example
已知微分方程 \(y'+y=f(x)\)，其中 \(f(x)\) 是 \(\mathbb{R}\) 上的连续函数 .
(1) 若 \(f(x)=x\)，求方程的通解；
(2) 若 \(f(x)\) 是周期为 \(T\) 的函数，证明：方程存在唯一的以 \(T\) 为周期的解 .
非常好的一道题。第一问直接套一阶线性微分方程通解公式即可。
第二问，利用通解公式中的积分可以写成变限积分的形式来解决，要说明周期性，只需要使得 \(y(x+T)-y(x)=0\)，换元并结合 \(f\) 的周期性化简得到只有唯一的任意常数 \(C\) 满足条件，从而证明唯一性。
第 19 题 ¶
Example
设数列 \(\{x_n\}\) 满足：\(x_1>0,\ x_n\mathrm{e}^{x_{n+1}}=\mathrm{e}^{x_n}-1\ (n=1,2,\cdots)\). 证明数列 \(\{x_n\}\) 收敛，并求 \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}x_n\).
高中题，只不过我们可以通过泰勒、拉格朗日中值等方法简化高中构造函数求导的过程。上下界看 \(f(x)\) 的值域；单调性看 \(f(x)\) 和 \(x\) 的大小关系。
总有人不相信这是高中题，我随便搜一道都比这道真题难得多……
第 20 题 ¶
Example
设实二次型 \(f(x_1,x_2,x_3)=(x_1-x_2+x_3)^2+(x_2+x_3)^2+(x_1+ax_3)^2\)，其中 \(a\) 是参数 .
(1) 求 \(f(x_1,x_2,x_3)=0\) 的解；
(2) 求 \(f(x_1,x_2,x_3)\) 的规范形 .
第一问，根据题意得到线性方程组，求解即可。
第二问，根据第一问的启发，我们需要分两种情况，也就根据线性变换是否可逆来选择不同的处理方法。
第 21 题 ¶
Example
已知 \(a\) 是常数 , 且矩阵 \(\displaystyle A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & a \\ 1 & 3 & 0 \\ 2 & 7 & -a \end{pmatrix}\) 可经初等列变换化为矩阵\(\displaystyle B=\begin{pmatrix} 1 & a & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}\) .
(1) 求 \(a\);
(2) 求满足 \(AP=B\) 的可逆矩阵 \(P\).
两问都很基础。
第 22 题 ¶
Example
设随机变量 \(X\) 与 \(Y\) 相互独立 , \(X\) 的概率分布为 \(\displaystyle P\{X=1\}=P\{X=-1\}=\frac{1}{2}\), \(Y\) 服从参数为 \(\lambda\) 的泊松分布 . 令 \(Z=XY\).
(1) 求 \(\operatorname{Cov}(X,Z)\);
(2) 求 \(Z\) 的概率分布 .
第一问直接根据定义计算即可。
第二问，首先得到 \(Z\) 的可能取值，然后根据 \(X\) 和 \(Y\) 的独立性结合泊松分布定义分类讨论解决。
第 23 题 ¶
Example
设总体 \(X\) 的概率密度为
其中 \(\sigma\in(0,+\infty)\) 为未知参数 , \(X_1,X_2,\cdots,X_n\) 为来自总体 \(X\) 的简单随机样本 . 记 \(\sigma\) 的最大似然估计量为 \(\hat{\sigma}\).
(1) 求 \(\hat{\sigma}\);
(2) 求 \(E(\hat{\sigma}),D(\hat{\sigma})\).
第一问，简单的似然估计。
第二问，根据第一问求出的 \(\hat{\sigma}\) 表达式结合期望的定义求解即可。
以上就是对于 2018 年数一真题的全部解答，比较综合的一套真题，第 6 题考察分块矩阵；第 8 题考察假设检验；第 12 题考察轮换对称性的运用；16 和 19 两题都是中学题，需熟练掌握；第 18 题是一道很好且比较创新的微分方程题目。其余题目大部分都是往年真题反复考察的重点。
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