跳转至

1992 年

第 1 题

Example

设函数 \(y=y(x)\) 由方程 \(\mathrm{e}^{x+y}+\cos(xy)=0\) 确定 , 则 \(\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\) ?

隐函数求导。

第 2 题

Example

函数 \(u=\ln(x^2+y^2+z^2)\) 在点 \(M(1,2,-2)\) 处的梯度 \(\left.\mathrm{grad}\,u\right|_{M}=\) ?

直接套用梯度计算公式。

第 3 题

Example

设

\[ f(x)= \begin{cases} -1, & -\pi< x \leqslant 0,\\ 1+x^2, & 0< x \leqslant \pi, \end{cases} \]

则其以 \(2\pi\) 为周期的傅里叶级数在点 \(x=\pi\) 处收敛于 ?

狄利克雷收敛定理，端点处的情况。

第 4 题

Example

微分方程 \(y'+y\tan x=\cos x\) 的通解为 ?

一阶线性非齐次微分方程公式 OR 积分因子法。这里都不用因子都能一眼看出同时除以 \(\cos x\) 可以凑出全微分。熟悉求导公式 \((\sec x)'=\sec x\tan x\) 即可。

第 5 题

Example

设

\[ A= \begin{pmatrix} a_1b_1 & a_1b_2 & \cdots & a_1b_n\\ a_2b_1 & a_2b_2 & \cdots & a_2b_n\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ a_nb_1 & a_nb_2 & \cdots & a_nb_n \end{pmatrix}, \]

其中 \(a_i\ne 0,b_i\ne 0,\,i=1,2,\cdots,n\), 则矩阵 \(A\) 的秩 \(r(A)=\) ?

各行均成比例，且各列均成比例，非常标准的秩一矩阵，因此秩为 1。第一次出现这个考点，所以下面带大家一起复习一下常用的秩一矩阵结论，这里不做证明，具体证明可以参考往期文章秩一矩阵 8 大性质（设下面叙述的矩阵 \(A\) 为 \(n\) 阶方阵（当然不是方阵也可以，只不过方的秩一矩阵考频高，非方阵秩一矩阵性质类似，读者可以自行探索）。

秩一矩阵 8 大性质

  1. \(r(A)=1\)
  2. 各行（列）成比例
  3. 可以分解为：\(A=\alpha\cdot \beta^{T}\)，其中 \(\alpha,\beta\) 均为 \(n\) 维非零列向量
  4. \(tr(A)=\beta^{T}\alpha\)，即 \(A\) 的迹等于两个向量的内积
  5. 如果 \(tr(A)\neq0\)，则可以对角化；反之则不能
  6. \(k\) 次幂：\(A^{k}=[tr(A)]^{k-1}A\)（1994 年数一第 5 题考察）
  7. 特征值：1 个 \(tr(A)\) 和 \(n-1\) 个 0
  8. \(\alpha\) 是特征值 \(tr(A)\) 对应的特征向量，而特征值 0 对应的特征向量是与 \(\beta^{T}\) 正交的向量

所以本题答案是 1.

第 6 题

Example

当 \(x\to 1\) 时 , 函数 \(\dfrac{x^2-1}{x-1}\mathrm{e}^{\frac{1}{x-1}}\) 的极限 ?

(A) 等于 \(2\)

(B) 等于 \(0\)

(C) 为 \(\infty\)

(D) 不存在但不是 \(\infty\)

分为 \(x\to 1^{+}\) 和 \(x\to 1^{-}\) 两种情况讨论，发现极限都存在但不相等，因此选 D。

第 7 题

Example

级数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\left(1-\cos\dfrac{\alpha}{n}\right)\)( 常数 \(\alpha>0\)) ?

(A) 发散

(B) 条件收敛

(C) 绝对收敛

(D) 收敛性与 \(\alpha\) 有关

加绝对值后，运用等价无穷小发现敛散性和 \(p=2\) 的 \(p\) 级数相同，故绝对收敛。

第 8 题

Example

在曲线 \(x = t,\,y = -t^2,\,z = t^3\) 的所有切线中 , 与平面 \(x + 2y + z = 4\) 平行的切线 ?

(A) 只有 \(1\) 条

(B) 只有 \(2\) 条

(C) 至少 \(3\) 条

(D) 不存在

求出切线方向向量，其与已知平面法向量垂直，列式得两个根。检验发现两个切点均不在已知平面上，所以有两条。

第 9 题

Example

设 \(f(x) = 3x^3 + x^2|x|\), 则使 \(f^{(n)}(0)\) 存在的最高阶数 \(n\) 为 ?

(A) \(0\)

(B) \(1\)

(C) \(2\)

(D) \(3\)

\(3x^{3}\) 在 \(x=0\) 处任意阶可导，因此不用讨论。而剩下的部分慢慢讨论即可。导两次发现得到 \(6|x|\) 显然不可再导，因此最高 2 阶可导。

第 10 题

Example

要使 \(\xi_1=\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix},\xi_2=\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}\) 都是线性方程组 \(AX=0\) 的解 , 只要系数矩阵 \(A\) 为 ?

(A) \(\begin{pmatrix}-2 & 1 & 1\end{pmatrix}\)

(B) \(\begin{pmatrix}2 & 0 & -1\\0 & 1 & 1\end{pmatrix}\)

(C) \(\begin{pmatrix}-1 & 0 & 2\\0 & 1 & -1\end{pmatrix}\)

(D) \(\begin{pmatrix}0 & 1 & -1\\4 & -2 & -2\\0 & 1 & 1\end{pmatrix}\)

显然 \(\xi_{1}\) 和 \(\xi_{2}\) 线性无关，因此解空间的维度至少为 2，由解空间维度公式：

\[ \mathrm{dim}V=n-r(A) \]

得：矩阵 \(A\) 的秩为 1。验证发现只有 A 选项正确。

第 11 题

Example

求 \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\mathrm{e}^x - \sin x - 1}{1 - \sqrt{1 - x^2}}\).

分母等价无穷小，分子 \(\mathrm{Taylor}\) 即可。

第 12 题

Example

设 \(z = f\left(\mathrm{e}^x\sin y,\,x^2+y^2\right)\), 其中 \(f\) 具有二阶连续偏导数 , 求 \(\dfrac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}\).

简单计算题。

第 13 题

Example

设

\[ f(x)= \begin{cases} 1+x^2, & x \leqslant 0,\\ \mathrm{e}^{-x}, & x > 0, \end{cases} \]

求 \(\displaystyle\int_{1}^{3} f(x-2)\,\mathrm{d}x\).

换元，分段积分。

第 14 题

Example

求微分方程 \(y''+2y'-3y=\mathrm{e}^{-3x}\) 的通解 .

二阶线性非齐次微分方程基础题。

第 15 题

Example

计算曲面积分

\[ I=\iint_{\Sigma}\big(x^3+az^2\big)\mathrm{d}y\mathrm{d}z+\big(y^3+ax^2\big)\mathrm{d}z\mathrm{d}x+\big(z^3+ay^2\big)\mathrm{d}x\mathrm{d}y, \]

其中 \(\Sigma\) 为上半球面 \(z=\sqrt{a^2-x^2-y^2}\) 的上侧 .

补面法 + \(\mathrm{Gauss}\) 公式。球坐标求三重积分。

第 16 题

Example

设 \(f''(x)<0,\,f(0)=0\)，证明：对任意的 \(x_1>0,\,x_2>0\)，有 \(f(x_1+x_2)<f(x_1)+f(x_2)\).

本题是 1990 年数三原题！原题！

本质考察的是凹凸性，取 \(\lambda_{1}=\frac{x_{1}}{x_{1}+x_{2}}\)，\(\lambda_{2}=\frac{x_{2}}{x_{1}+x_{2}}\) 满足 \(\lambda_{1}+\lambda_{2}=1\)，结合 \(\mathrm{Jensen}\) 不等式 \(f(\lambda_{1}x_{1}+\lambda_{2}x_{2})>\lambda_{1}f(x_{1})+\lambda_{2}f(x_{2})\) ，分别在点 \((x_{1}+x_{2},0)\) 和点 \((0,x_{1}+x_{2})\) 处运用即可三行秒杀。但是直接这么做就有点太浪费这个题目了，所以下面再介绍两个方法。

方法 1：Lagrange 中值定理

对待证式子作差，结合 \(f(0)=0\) 即可两次运用 \(\mathrm{Lagrange}\) 中值定理，结合一阶导单调递减即可证明。

方法 2：构造辅助函数

其实就是主元法，我们把 \(x_{1}\) 看作主元，构造辅助函数，求导证明单调递减即可。

第 17 题

Example

在变力 \(\boldsymbol{F}=yz\boldsymbol{i}+zx\boldsymbol{j}+xy\boldsymbol{k}\) 的作用下，质点由原点沿直线运动到椭球面

\[ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1 \]

上第一卦限的点 \(M(\xi,\eta,\zeta)\)，问：当 \(\xi,\eta,\zeta\) 取何值时，力 \(\boldsymbol{F}\) 所做的功 \(W\) 最大？并求出 \(W\) 的最大值 .

物理题。根据直接参数方程求解曲线积分，得到做功表达式：\(W=\xi\cdot\eta\cdot\zeta\).

所以问题变成条件极值问题，常规操作是拉格朗日乘数法，但是一般我懒得解方程，基本不用，所以下面介绍两个其他方法：

方法 1：三元基本不等式

方法 2：球坐标换元

第 18 题

Example

设向量组 \(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\) 线性相关，向量组 \(\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4\) 线性无关，问：

(1) \(\alpha_1\) 能否由 \(\alpha_2,\alpha_3\) 线性表示？证明你的结论；

(2) \(\alpha_4\) 能否由 \(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\) 线性表示？证明你的结论。

定义题，根据定义慢慢证，不可能证不出来，觉得不好写的时候考虑反证即可。

第 19 题

Example

设 3 阶矩阵 \(A\) 的特征值为 \(\lambda_1=1,\lambda_2=2,\lambda_3=3\)，对应的特征向量依次为

\[ \xi_1=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix},\ \xi_2=\begin{pmatrix}1\\2\\4\end{pmatrix},\ \xi_3=\begin{pmatrix}1\\3\\9\end{pmatrix}, \]

又向量 \(\boldsymbol{\beta}=\begin{pmatrix}1\\1\\3\end{pmatrix}\)。

(1) 将 \(\boldsymbol{\beta}\) 用 \(\xi_1,\xi_2,\xi_3\) 线性表示；

(2) 求 \(A^n\boldsymbol{\beta}\)（\(n\) 为自然数）。

第一问，线性方程组问题。

第二问，矩阵 \(n\) 次幂问题，根据特征值和特征向量的关系代入第一问求出来的结果即可。

第 20 题

Example

已知 \(P(A)=P(B)=P(C)=\dfrac{1}{4},\ P(AB)=0,\ P(AC)=P(BC)=\dfrac{1}{12}\)，则事件 \(A,B,C\) 全不发生的概率为 ?

加法公式。

第 21 题

Example

设随机变量 \(X\) 服从参数为 \(1\) 的指数分布，则数学期望 \(E\left(X+\mathrm{e}^{-2X}\right)=\) ?

根据期望的线性可加性拆分，第一部分套结论，第二部分用定义。

第 22 题

Example

设随机变量 \(X\) 与 \(Y\) 独立，\(X\) 服从正态分布 \(N(\mu,\sigma^2)\)，\(Y\) 服从 \([-\pi,\pi]\) 上的均匀分布，试求 \(Z=X+Y\) 的概率密度（计算结果用标准正态分布的分布函数 \(\Phi(x)\) 表示，其中 \(\displaystyle\Phi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{x}\mathrm{e}^{-\frac{t^2}{2}}\mathrm{d}t\)）。

这个题我很喜欢，对没有掌握卷积公式的朋友可以说非常困难了，计算量那是真的大，这里我就直接按卷积公式法来讲解。

如果不知道卷积公式是什么的朋友可以参考 1987 年真题的最后一题，我介绍了两种方法，第二种就是卷积公式，介绍的非常详细，文章附在下面：1987 年数一考研真题详解！

对于本题，首先运用卷积公式得到积分表达式，然后对标准正态分布的概率密度函数 \(\varphi(t)\) ，从而转换为标准正态分布的分布函数 \(\Phi(x)\) 进行换元的表达式。

以上就是对于 1992 年数一真题的全部解答，难度不算大，但是部分题目如果不知道结论可能会花些时间，比如第 5 题考察秩一矩阵（当然这个题知不知道结论不太影响），第 16 题凹凸性，还有最后一题的卷积公式。其次是掌握一些其他方法可以加快解题速度，比如第 17 题如果熟练掌握高中学的三元基本不等式可以快不少。

  • 更多精彩内容欢迎关注我的微信公众号！

搜一搜

评论区