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1994 年

第 1 题

Example

\(\displaystyle\lim_{x\to 0}\cot x\left(\frac{1}{\sin x}-\frac{1}{x}\right)=\) ?

通分，等价无穷小。

第 2 题

Example

曲面 \(z-\mathrm{e}^{z}+2xy=3\) 在点 \((1,2,0)\) 处的切平面方程为 ?

隐函数形式的切平面法向量公式。

第 3 题

Example

设 \(u=\mathrm{e}^{-x}\sin\dfrac{x}{y}\)，则 \(\dfrac{\partial^2 u}{\partial x\partial y}\) 在点 \(\left(2,\dfrac{1}{\pi}\right)\) 处的值为 ?

简单计算题，这里有一个加速计算的点（本题体现不明显），就是再对 \(x\) 求完偏导之后可以先将最终 \(x\) 的取值代入以后再对 \(y\) 求偏导。

第 4 题

Example

设区域 \(D\) 为 \(x^2+y^2\leqslant R^2\)，则 \(\displaystyle\iint_D\left(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\) ?

我之前介绍轮换对称性文章里面的原题。忘记的朋友可以参考下面的这篇文章，系统总结了轮换对称性的多种用法，涉及二重积分和三重积分。轮换对称性，如此简单！

本题过程如下：

\[ \begin{aligned} I&=\iint\limits_D \frac{x^2}{a^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y+\iint\limits_D \frac{y^2}{b^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y\\ \xrightarrow{\text{轮换对称}} I&=\iint\limits_D \frac{y^2}{a^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y+\iint\limits_D \frac{x^2}{b^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y\\ \Rightarrow 2I&=\left(\frac1{a^2}+\frac1{b^2}\right)\iint\limits_D(x^2+y^2)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\\ I&=\frac12\left(\frac1{a^2}+\frac1{b^2}\right)\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta\int_0^R r^2\cdot r\mathrm{d}r =\frac{\pi R^4}{4}\left(\frac1{a^2}+\frac1{b^2}\right). \end{aligned} \]

第 5 题

Example

已知 \(\boldsymbol{\alpha}=(1,2,3),\boldsymbol{\beta}=\left(1,\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{3}\right)\)，设 \(A=\boldsymbol{\alpha}^\mathrm{T}\boldsymbol{\beta}\)，其中 \(\boldsymbol{\alpha}^\mathrm{T}\) 是 \(\boldsymbol{\alpha}\) 的转置，则 \(A^n=\) ?

秩一矩阵的性质。在 1992 年数一真题第 5 题的讲解中，我拓展了秩一矩阵的常用 8 条性质，其中本题考察的就是第 6 条。忘记的朋友可以复习一下我对 1992 年数一真题的讲解。

秩一矩阵性质证明可以参考：秩一矩阵 8 大性质

第 6 题

Example

设 \(M=\displaystyle\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin x}{1+x^2}\cos^4 x\,\mathrm{d}x,\ N=\displaystyle\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\big(\sin^3 x+\cos^4 x\big)\mathrm{d}x,\ P=\displaystyle\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\big(x^2\sin^3 x-\cos^4 x\big)\mathrm{d}x\)，则 ?

(A) \(N<P<M\)

(B) \(M<P<N\)

(C) \(N<M<P\)

(D) \(P<M<N\)

很简单的一道定积分比大小题目，之后真题里面的定积分比大小都没有这么简单过了。首先发现 \(M\) 的被积函数是奇函数，所以结果为 0。一般如果有一个结果是 0，那么另外两个大概率一正一负。所以出题人还十分良心的把结果为 0 的这个放在第一个，生怕你发现不了。

结合奇偶性判断剩下两个定积分的正负即可。最终选 D。

第 7 题

Example

二元函数 \(f(x,y)\) 在点 \((x_0,y_0)\) 处两个偏导数 \(f_x'(x_0,y_0),f_y'(x_0,y_0)\) 存在是 \(f(x,y)\) 在该点连续的 ?

(A) 充分条件但非必要条件

(B) 必要条件但非充分条件

(C) 充分必要条件

(D) 既非充分条件又非必要条件

二元函数偏导连续、可微、方向导数存在、偏导存在、连续 \(\dots\)

记住下面这张关系图即可解决这类定义问题，本题考察的就是我用红框框起来的这对关系，二者没有任何关系。因此选 D。

另外就是这道题让我想起了一个经典表情包：

第 8 题

Example

设常数 \(\lambda > 0\)，且级数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n^2\) 收敛，则级数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{|a_n|}{\sqrt{n^2+\lambda}}\quad(\quad)\)

(A) 发散

(B) 条件收敛

(C) 绝对收敛

(D) 收敛性与 \(\lambda\) 有关

加绝对值，利用常用不等式即可。答案选 C。

第 9 题

Example

设 \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{a\tan x+b(1-\cos x)}{c\ln(1-2x)+d(1-\mathrm{e}^{-x^2})}=2\)，其中 \(a^2+c^2\neq 0\)，则必有 \(\quad(\quad)\)

(A) \(b=4d\)

(B) \(b=-4d\)

(C) \(a=4c\)

(D) \(a=-4c\)

泰勒秒了。

第 10 题

Example

已知向量组 \(\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3,\boldsymbol{\alpha}_4\) 线性无关，则向量组 \(\quad(\quad)\)

(A) \(\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3,\boldsymbol{\alpha}_3+\boldsymbol{\alpha}_4,\boldsymbol{\alpha}_4+\boldsymbol{\alpha}_1\) 线性无关

(B) \(\boldsymbol{\alpha}_1-\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_2-\boldsymbol{\alpha}_3,\boldsymbol{\alpha}_3-\boldsymbol{\alpha}_4,\boldsymbol{\alpha}_4-\boldsymbol{\alpha}_1\) 线性无关

(C) \(\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3,\boldsymbol{\alpha}_3+\boldsymbol{\alpha}_4,\boldsymbol{\alpha}_4-\boldsymbol{\alpha}_1\) 线性无关

(D) \(\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3,\boldsymbol{\alpha}_3-\boldsymbol{\alpha}_4,\boldsymbol{\alpha}_4-\boldsymbol{\alpha}_1\) 线性无关

集中注意力，ABD 三个选项都可以配凑出来一组不全为零的数使之等于 0，因此 ABD 三个选项都是线性相关的。

至于 C 选项，求出过渡矩阵后发现是可逆的，因此保持线性无关性。

第 11 题

Example

设

\[ \begin{cases} x=\cos t^2,\\ y=t\cos t^2-\displaystyle\int_{1}^{t^2}\frac{1}{2\sqrt{u}}\cos u\,\mathrm{d}u, \end{cases} \]

求 \(\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x},\dfrac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}\) 在 \(t=\sqrt{\dfrac{\pi}{2}}\) 时的值 .

参数方程求导，都转化为关于 \(t\) 求导即可。本题函数简单，直接计算即可，若遇到复杂函数，比如2026 年江苏省第二十三届高等数学竞赛的第一道大题，可以考虑使用化简后的公式进行计算，即：

\[ \frac{\mathrm{~d} y }{\mathrm{~d} x }=\frac{\mathrm{~d} y /\mathrm{~d} t }{\mathrm{~d} x / \mathrm{~d} t }=\frac{y'}{x'} \]
\[ \frac{\mathrm{~d} ^{2}y }{\mathrm{~d} x^{2} }=\frac{\mathrm{~d} \left( \frac{y'}{x'} \right) / \mathrm{~d} t }{\mathrm{~d} x / \mathrm{~d} t }=\frac{\frac{y''x'-y'x''}{(x')^{2}}}{x'}=\frac{y''x'-y'x''}{(x')^{3}} \]

第 12 题

Example

将函数 \(f(x)=\dfrac{1}{4}\ln\dfrac{1+x}{1-x}+\dfrac{1}{2}\arctan x-x\) 展开成 \(x\) 的幂级数 .

两个泰勒级数拼凑即可，注意收敛域。

第 13 题

Example

求 \(\displaystyle\int \frac{\mathrm{d}x}{\sin 2x+2\sin x}\).

好题，如果熟练掌握凑微分的话可以秒杀。首先我们需要熟知如下两组积分：

重要三角积分 1

\[ \int \frac{1}{1+\cos x}\mathrm{~d} x = \int \frac{1}{2\cos ^{2} \frac{x}{2}}\mathrm{~d} x=\int \sec ^{2} \frac{x}{2}\mathrm{~d} \frac{x}{2} =\tan \frac{x}{2}+C \]

重要三角积分 2

\[ \int \frac{1}{1+\sin x}\mathrm{~d} x = \int \frac{1}{1+\cos\left( x-\frac{\pi}{2} \right)}\mathrm{~d} \left( x-\frac{\pi}{2} \right)=\tan \frac{x-\frac{\pi}{2}}{2}+C \]

于是本题可以使用第一组公式进行凑微分，过程如下：

当然实在没有办法使用万能公式也是一种办法，上面的凑微分本质就是简化了这一过程。

类似题

下面我给一个类似的题目，可以检验一下自己是不是真的掌握看这种凑微分技巧：

\[ \begin{aligned} \int \mathrm{e}^{ x } \frac{1+\sin x}{1+\cos x}\mathrm{~d} x&= \int \mathrm{e}^{ x } \frac{1}{1+\cos x}\mathrm{~d} x + \int \mathrm{e}^{ x } \frac{\sin x}{1+\cos x}\mathrm{~d} x\\ &= \int \mathrm{e}^{ x }\mathrm{~d} \tan \frac{x}{2}+\int \tan \frac{x}{2}\mathrm{~d} \mathrm{e}^{ x } \\ &= \int \mathrm{~d} \left( \mathrm{e}^{ x }\tan \frac{x}{2} \right)\\ &= \mathrm{e}^{ x }\tan \frac{x}{2}+C \end{aligned} \]

第 14 题

Example

计算曲面积分 \(\displaystyle\iint_S \frac{x\,\mathrm{d}y\mathrm{d}z+z^2\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y}{x^2+y^2+z^2}\)，其中 \(S\) 是由曲面 \(x^2+y^2=R^2\) 及两个平面 \(z=R,z=-R\ (R>0)\) 所围成的立体表面的外侧 .

好题，对称性的极致考察。需要注意第二类线面积分都是所谓的“偶零奇倍”。

我之前也讲过一道对对称性考察很极致的题目：无敌！对称性的极致运用

首先曲面 \(S\) 可以拆成 \(\Sigma_{1},\Sigma_{2}\) 和 \(\Sigma\) 三个部分，根据对称性不断化简，最后变成 \(yOz\) 投影面的二重积分，投影面积为 0 的 \(\Sigma_{1},\Sigma_{2}\) 曲面自然积分也是 0，同时我们将 \(x\) 用含 \(y,z\) 函数替换，最后计算二重积分即可。

第 15 题

Example

设 \(f(x)\) 具有二阶连续导数，\(f(0)=0,f'(0)=1\)，且

\[ \big[xy(x+y)-f(x)y\big]\mathrm{d}x+\big[f'(x)+x^2y\big]\mathrm{d}y=0 \]

为一个全微分方程，求 \(f(x)\) 及此全微分方程的通解 .

全微分方程，因此满足恰当条件，化简得到一个二阶非齐次线性微分方程。求解即可。

至于全微分方程的通解，一种方法是选择一条合适的路径进行积分，另一种方法是累次积分；当然还可以集中注意力直接配凑全微分形式，前两种方法比较基础，相信大家都会，这里不做展开。下面展示一下第三种方法如何配凑：

第 16 题

Example

设 \(f(x)\) 在 \(x=0\) 的某一邻域内具有二阶连续导数，且 \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x}=0\)，证明：级数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}f\left(\frac{1}{n}\right)\) 绝对收敛。

首先求出在 \(x=0\) 处的原函数值和导函数值都为 0，因此考虑在 \(x=0\) 处泰勒展开。

那么目标级数加上绝对值后就和一个 \(p=2\) 的 \(p\) 级数是等价的，根据比较判别法的极限形式即可说明待求级数绝对收敛。

第 17 题

Example

已知点 \(A\) 与点 \(B\) 的直角坐标分别为 \((1,0,0)\) 与 \((0,1,1)\)，线段 \(AB\) 绕 \(z\) 轴旋转一周所围成的旋转曲面为 \(S\)，求由 \(S\) 及两平面 \(z=0,z=1\) 所围成的立体的体积。

求什么就设什么，我们设待求旋转曲面上任意一点 \(P(x,y,z)\)，则其所在等高面是一个圆面，我们找到这个圆面和已知线段 \(AB\) 的交点 \(P'\)，根据半径相等列式即可求出旋转曲面方程。

至于立体的体积，使用截面法求解即可。

第 18 题

Example

设四元齐次线性方程组 (I) 为

\[ \begin{cases} x_1+x_2=0,\\ x_2-x_4=0. \end{cases} \]

又已知某线性齐次方程组 (II) 的通解为 \(k_1(0,1,1,0)^\mathrm{T}+k_2(-1,2,2,1)^\mathrm{T}\).

(1) 求线性方程组 (I) 的基础解系；

(2) 问线性方程组 (I) 与 (II) 是否有非零公共解？若有，求出所有非零的公共解；若没有，说明理由。

第一问求解基础解系，观察法或者用行阶梯矩阵都可以。

第二问考察公共解，我们考虑将题干给的 (II) 的通解代入到第一问求出的 (I) 的通解中，得到 \(k_{1}+k_{2}=1\)，再次代入化简 (II) 的通解即可得到两个方程的公共解。

第 19 题

Example

设 \(\boldsymbol{A}\) 为 \(n\) 阶非零方阵，\(\boldsymbol{A}^*\) 为 \(\boldsymbol{A}\) 的伴随矩阵，\(\boldsymbol{A}^\mathrm{T}\) 是 \(\boldsymbol{A}\) 的转置矩阵，当 \(\boldsymbol{A}^*=\boldsymbol{A}^\mathrm{T}\) 时，证明：\(|\boldsymbol{A}|\neq 0\)。

根据定义找出伴随矩阵和转置矩阵同在 \((i,j)\) 位置的元素，二者对应相等得到 \(a_{ij}=A_{ij}\)

在将行列式在任意行展开，即可得到行列式的表达式可以写为平方和，因此一定大于 0.

第 20 题

Example

设随机事件 \(A,B\) 满足条件 \(P(AB)=P(\overline{A}\;\overline{B})\)，且 \(P(A)=p\)，则 \(P(B)=\) ?

加法公式。

第 21 题

Example

设相互独立的两个随机变量 \(X,Y\) 具有同一分布律，且 \(X\) 的分布律为

\[ \begin{array}{c|cc} X & 0 & 1\\ \hline P & \dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{2} \end{array} \]

则随机变量 \(Z=\max\{X,Y\}\) 的分布律为 ?

首先找出 \(Z\) 的可能取值为 0 和 1，然后根据定义求出 \(P\left\{ z=0 \right\}\)，另一个概率通过正难则反求解。

第 22 题

Example

已知随机变量 \((X,Y)\) 服从二维正态分布，且 \(X\) 和 \(Y\) 分别服从正态分布 \(N(1,3^2)\) 和 \(N(0,4^2)\)，\(X,Y\) 的相关系数 \(\rho_{XY}=-\dfrac{1}{2}\)，设 \(Z=\dfrac{X}{3}+\dfrac{Y}{2}\).

(1) 求 \(Z\) 的数学期望 \(E(Z)\) 和方差 \(D(Z)\)；

(2) 求 \(X\) 与 \(Z\) 的相关系数 \(\rho_{XZ}\)；

(3) 问 \(X\) 与 \(Z\) 是否相互独立？为什么？

前两问纯公式题。

第三问考察的是服从二维正态分布的随机变量经过可逆线性变换后仍然服从二维正态分布。根据这个思路，我们只需要找出过渡矩阵并证明它可逆即可。

同时，这对二维正态分布，我们有：不相关 \(\iff\) 相互独立。

以上就是对于 1994 年数一真题的全部解答，对概念和常用技巧的考察逐步加深，如轮换对称性、秩一矩阵，可微、可偏导这一系列概念等。当然只要对基础概念、定义掌握熟练，所有题目都是常见套路，可能看上去记号比较复杂，但是套路都很明显，因为能考的内容就那么多，不会像高中数学那样有很多人为套路。所以熟练度是很重要的！

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