2020 年

Example

当 \(x\to 0^+\) 时 , 下列无穷小量中最高阶的是 ?

(A) \(\displaystyle\int_{0}^{x} \left(\mathrm{e}^{t^2}-1\right)\mathrm{d}t\)

(B) \(\displaystyle\int_{0}^{x} \ln\left(1+\sqrt{t^3}\right)\mathrm{d}t\)

(C) \(\displaystyle\int_{0}^{\sin x} \sin\left(t^2\right)\mathrm{d}t\)

(D) \(\displaystyle\int_{0}^{1-\cos x} \sqrt{\sin^3 t}\,\mathrm{d}t\)

Example

设函数 \(f(x)\) 在区间 \((-1,1)\) 内有定义 , 且 \(\displaystyle\lim_{x\to 0} f(x)=0\), 则 ?

(A) 当 \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{\sqrt{|x|}}=0\) 时 , \(f(x)\) 在 \(x=0\) 处可导

(B) 当 \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x^2}=0\) 时 , \(f(x)\) 在 \(x=0\) 处可导

(C) 当 \(f(x)\) 在 \(x=0\) 处可导时 , \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{\sqrt{|x|}}=0\)

(D) 当 \(f(x)\) 在 \(x=0\) 处可导时 , \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x^2}=0\)

Example

设函数 \(f(x,y)\) 在点 \((0,0)\) 处可微 , \(f(0,0)=0\), \(\boldsymbol{n}=\left.\left(\dfrac{\partial f}{\partial x},\dfrac{\partial f}{\partial y},-1\right)\right|_{(0,0)}\), 非零向量 \(\boldsymbol{\alpha}\) 与 \(\boldsymbol{n}\) 垂直 , 则 ?

(A) \(\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}\dfrac{|\boldsymbol{n}\cdot(x,y,f(x,y))|}{\sqrt{x^2+y^2}}\) 存在

(B) \(\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}\dfrac{|\boldsymbol{n}\times(x,y,f(x,y))|}{\sqrt{x^2+y^2}}\) 存在

(C) \(\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}\dfrac{|\boldsymbol{\alpha}\cdot(x,y,f(x,y))|}{\sqrt{x^2+y^2}}\) 存在

(D) \(\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}\dfrac{|\boldsymbol{\alpha}\times(x,y,f(x,y))|}{\sqrt{x^2+y^2}}\) 存在

Example

设 \(R\) 为幂级数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n x^n\) 的收敛半径 , \(r\) 是实数 , 则 ?

(A) 当 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_{2n} r^{2n}\) 发散时 , \(|r|\geqslant R\)

(B) 当 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_{2n} r^{2n}\) 收敛时 , \(|r|\leqslant R\)

(C) 当 \(|r|\geqslant R\) 时 , \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_{2n} r^{2n}\) 发散

(D) 当 \(|r|\leqslant R\) 时 , \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_{2n} r^{2n}\) 收敛

Example

若矩阵 \(A\) 经过初等列变换化成 \(B\), 则 ?

(A) 存在矩阵 \(P\), 使得 \(PA=B\)

(B) 存在矩阵 \(P\), 使得 \(BP=A\)

(C) 存在矩阵 \(P\), 使得 \(PB=A\)

(D) 方程组 \(AX=0\) 与 \(BX=0\) 同解

Example

已知直线 \(L_1:\dfrac{x-a_2}{a_1}=\dfrac{y-b_2}{b_1}=\dfrac{z-c_2}{c_1}\) 与直线 \(L_2:\dfrac{x-a_3}{a_2}=\dfrac{y-b_3}{b_2}=\dfrac{z-c_3}{c_2}\) 相交于一点 , 记向量 \(\boldsymbol{\alpha}_i=\begin{pmatrix}a_i\\b_i\\c_i\end{pmatrix},\,i=1,2,3\), 则 ?

(A) \(\boldsymbol{\alpha}_1\) 可由 \(\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3\) 线性表示

(B) \(\boldsymbol{\alpha}_2\) 可由 \(\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_3\) 线性表示

(C) \(\boldsymbol{\alpha}_3\) 可由 \(\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2\) 线性表示

(D) \(\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3\) 线性无关

Example

设 \(A,B,C\) 为三个随机事件 , 且 \(P(A)=P(B)=P(C)=\dfrac{1}{4},\,P(AB)=0,\,P(AC)=P(BC)=\dfrac{1}{12}\), 则 \(A,B,C\) 中恰有一个事件发生的概率为 ?

(A) \(\dfrac{3}{4}\)

(B) \(\dfrac{2}{3}\)

(C) \(\dfrac{1}{2}\)

(D) \(\dfrac{5}{12}\)

Example

设 \(X_1,X_2,\cdots,X_{100}\) 为来自总体 \(X\) 的简单随机样本 , 其中 \(P\{X=0\}=P\{X=1\}=\dfrac{1}{2}\), \(\Phi(x)\) 表示标准正态分布函数 , 利用中心极限定理可得 \(\displaystyle P\left\{\sum_{i=1}^{100} X_i \leqslant 55\right\}\) 的近似值为 ?

(A) \(1-\Phi(1)\)

(B) \(\Phi(1)\)

(C) \(1-\Phi(0.2)\)

(D) \(\Phi(0.2)\)

Example

\(\displaystyle\lim_{x\to 0}\left[\frac{1}{\mathrm{e}^x-1}-\frac{1}{\ln(1+x)}\right]=\) ?

Example

设\(\begin{cases} x=\sqrt{t^2+1},\\ y=\ln\big(t+\sqrt{t^2+1}\big), \end{cases} \quad\text{则}\quad \displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}\right|_{t=1}=\) ?

Example

设函数 \(f(x)\) 满足 \(f''(x)+af'(x)+f(x)\equiv 0\ (a>0)\)，且 \(f(0)=m,\ f'(0)=n\)，则 \(\displaystyle\int_{0}^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x=\) ?

Example

设函数 \(f(x,y)=\displaystyle\int_{0}^{xy}\mathrm{e}^{xt^2}\mathrm{d}t\)，则 \(\displaystyle\left.\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}\right|_{(1,1)}=\) ?

Example

行列式\(\begin{vmatrix} a & 0 & -1 & 1\\ 0 & a & 1 & -1\\ -1 & 1 & a & 0\\ 1 & -1 & 0 & a \end{vmatrix}=?\)

Example

设 \(X\) 服从区间 \(\left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right)\) 上的均匀分布，\(Y=\sin X\)，则 \(\mathrm{Cov}(X,Y)=\) ?

Example

求函数 \(f(x,y)=x^3+8y^3-xy\) 的极值 .

Example

计算曲线积分

其中 \(L\) 是 \(x^2+y^2=2\)，方向为逆时针方向 .

Example

设数列 \(\{a_n\}\) 满足：\(a_1=1,\ (n+1)a_{n+1}=\left(n+\dfrac{1}{2}\right)a_n\)，证明：当 \(|x|<1\) 时，幂级数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n x^n\) 收敛，并求其和函数 .

Example

设 \(\Sigma\) 为曲面 \(z=\sqrt{x^2+y^2}\ (1\leqslant x^2+y^2\leqslant 4)\) 的下侧，\(f(x)\) 是连续函数，计算

Example

设函数 \(f(x)\) 在区间 \([0,2]\) 上具有连续导数，\(f(0)=f(2)=0\)，\(M=\max\limits_{x\in[0,2]}\{|f(x)|\}\)，证明：

(1) 存在 \(\xi\in(0,2)\)，使得 \(|f'(\xi)|\geqslant M\)；

(2) 若对任意的 \(x\in(0,2)\)，\(|f'(x)|\leqslant M\)，则 \(M=0\).

Example

设二次型 \(f(x_1,x_2)=x_1^2-4x_1x_2+4x_2^2\) 经正交变换 \(\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}=Q\begin{pmatrix}y_1\\y_2\end{pmatrix}\) 化为二次型 \(g(y_1,y_2)=ay_1^2+4y_1y_2+by_2^2\)，其中 \(a\geqslant b\).

(1) 求 \(a,b\) 的值 ;

(2) 求正交矩阵 \(Q\).

Example

设 \(A\) 为 2 阶矩阵，\(P=(\alpha,A\alpha)\)，其中 \(\alpha\) 是非零向量且不是 \(A\) 的特征向量 .

(1) 证明 \(P\) 为可逆矩阵 ;

(2) 若 \(A^2\alpha+A\alpha-6\alpha=0\)，求 \(P^{-1}AP\)，并判断 \(A\) 是否相似于对角矩阵 .

Example

设随机变量 \(X_1,X_2,X_3\) 相互独立，其中 \(X_1\) 与 \(X_2\) 均服从标准正态分布，\(X_3\) 的概率分布为 \(P\{X_3=0\}=P\{X_3=1\}=\dfrac{1}{2}\)，\(Y=X_3X_1+(1-X_3)X_2\).

(1) 求二维随机变量 \((X_1,Y)\) 的分布函数，结果用标准正态分布函数 \(\Phi(x)\) 表示 ;

(2) 证明随机变量 \(Y\) 服从标准正态分布 .

Example

设某元件的使用寿命 \(T\) 的分布函数为

其中 \(\theta,m\) 为参数且大于零 .

(1) 求概率 \(P\{T>t\}\) 与 \(P\{T>s+t\mid T>s\}\)，其中 \(s>0,t>0\);

(2) 任取 \(n\) 个这种元件做寿命试验，测得它们的寿命分别为 \(t_1,t_2,\cdots,t_n\)，若 \(m\) 已知，求 \(\theta\) 的最大似然估计值 \(\hat{\theta}\).