彻底学会递推求解不定积分！¶
本节带大家吃透不定积分里可用递推法和循环节求解的各类题型，题目大多来自高数附录中的积分表，文章较长，建议收藏方便今后查阅！
例题 ¶
例 1 ¶
Example
求积分：
\[
\int \frac{\mathrm{d}x}{(x^2+a^2)^n}
\]
解：超级经典的一个题目，相信很多人都是直接把结果当成结论背下来的，尤其是常考的 \(n=2\) 的结论，下面一起来看看怎么证明吧！
由于没有什么可化简的地方，所以考虑先用一步分部积分：
\[
\begin{aligned}
\int \frac{\mathrm{d}x}{(x^2+a^2)^n} &= \frac{x}{(x^2+a^2)^n} - \int x\cdot \frac{-2nx}{(x^2+a^2)^{n+1}} \mathrm{~d}x \\[0.2cm]
&= \frac{x}{(x^2+a^2)^n} + 2n\int \frac{x^2}{(x^2+a^2)^{n+1}} \mathrm{~d}x \\[0.2cm]
&= \frac{x}{(x^2+a^2)^n} + 2n\int \frac{\color{red}{x^2+a^2-a^2}}{(x^2+a^2)^{n+1}} \mathrm{~d}x \\[0.2cm]
&= \frac{x}{(x^2+a^2)^n} + 2n\int \frac{1}{(x^2+a^2)^{n}} \mathrm{~d}x - 2na^2\int \frac{1}{(x^2+a^2)^{n+1}} \mathrm{~d}x\\[0.2cm]
\end{aligned}
\]
现在就得到了和待求积分一模一样的积分，我们成为“循环节”，移项合并循环节得：
\[
(1-2n)\int \frac{\mathrm{d}x}{(x^2+a^2)^n} =\frac{x}{(x^2+a^2)^n} - 2na^2\int \frac{1}{(x^2+a^2)^{n+1}} \mathrm{~d}x
\]
整理得：
\[
\int \frac{1}{(x^2+a^2)^{n+1}}\mathrm{~d}x = \frac1{2na^2} \left[\frac{x}{(x^2+a^2)^n} - (1-2n)\int \frac{\mathrm{d}x}{(x^2+a^2)^n}\right]
\]
我们把原积分记作 \(I_n\)，那么上面这个式子就是一个递推式：
\[
I_{n+1} = \frac1{2na^2} \left[\frac{x}{(x^2+a^2)^n} - (1-2n)I_n\right]
\]
其中，首项 \(I_1 = \displaystyle \int \frac1{x^2+a^2} \mathrm{~d}x = \frac1a \arctan \frac xa + C\)
特别的，当 \(n=1\) 时，有：
\[
\begin{aligned}
I_2 &= \frac1{2a^2} \left[\frac{x}{x^2+a^2} + I_1\right]\\[0.2cm]
&= \frac{x}{2a^2(x^2+a^2)} + \frac1{2a^3} \arctan \frac xa + C
\end{aligned}
\]
例 2 ¶
Example
求积分：
\[
\int \sin^nx \mathrm{~d}x
\]
解：分出一个 \(\sin x\) 凑微分，然后使用分部积分：
\[
\begin{aligned}
\int \sin^nx \mathrm{~d}x &= \int \sin^{n-1}x \cdot \sin x \mathrm{~d}x\\
&= -\int \sin^{n-1}x \;\mathrm{~d}(\cos x)\\
&= -\cos x \cdot \sin^{n-1}x + \int \cos x \cdot (n-1) \sin^{n-2}x \cdot \cos x \mathrm{~d}x\\
&= -\cos x \cdot \sin^{n-1}x + (n-1)\int \cos^2x \sin^{n-2}x\mathrm{~d}x\\
&= -\cos x \cdot \sin^{n-1}x + (n-1)\int {\color{red}{(1-\sin^2x)}} \sin^{n-2}x\mathrm{~d}x\\
&= -\cos x \cdot \sin^{n-1}x + (n-1)\int \sin^{n-2}\mathrm{~d}x - (n-1)\int \sin^{n}x\mathrm{~d}x\\
\end{aligned}
\]
记原积分为 \(I_n\)，则上式得到的就是一个递推式：
\[
I_n = -\cos x \cdot \sin^{n-1}x + (n-1)I_{n-2} - (n-1)I_n
\]
整理一下，得到：
\[
I_n = -\frac1n \cos x\cdot\sin^{n-1}x + \frac{n-1}{n} I_{n-2}
\]
例 3 ¶
Example
求积分：
\[
\int \cos^n x \mathrm{~d}x
\]
解：和上一题很类似，都是凑一个到后面去然后使用分部积分：
\[
\begin{aligned}
\int \cos^nx \mathrm{~d}x &= \int \cos^{n-1}x \cdot \cos x \mathrm{~d}x\\
&= \int \cos^{n-1}x \;\mathrm{~d}(\sin x)\\
&= \sin x \cdot \cos^{n-1}x - \int \sin x \cdot (n-1) \cos^{n-2}x \cdot (-\sin x) \mathrm{~d}x\\
&= \sin x \cdot \cos^{n-1}x + (n-1)\int \sin^2x \cos^{n-2}x\mathrm{~d}x\\
&= \sin x \cdot \cos^{n-1}x + (n-1)\int {\color{red}{(1-\cos^2x)}} \cos^{n-2}x\mathrm{~d}x\\
&= \sin x \cdot \cos^{n-1}x + (n-1)\int \cos^{n-2}\mathrm{d}x - (n-1)\int \cos^{n}x\mathrm{~d}x\\
\end{aligned}
\]
记原积分为 \(I_n\)，则上式得到的就是一个递推式：
\[
I_n = \sin x \cdot \cos^{n-1}x + (n-1)I_{n-2} - (n-1)I_n
\]
整理一下，得到：
\[
I_n = \frac1n \sin x\cdot\cos^{n-1}x + \frac{n-1}{n} I_{n-2}
\]
例 4 ¶
Example
求积分：
\[
\int \csc^n x \mathrm{~d}x
\]
解：由于 \((\cot x)' = -\csc^2 x\)，所以我们需要拿出两个 \(\csc x\) 来凑微分：
\[
\begin{aligned}
\int \csc^n \mathrm{~d}x &= \int \csc^{n-2}x \cdot \csc^2 x \mathrm{~d}x\\
&= -\int \csc^{n-2}x \;\mathrm{d}(\cot x)\\
&= -\cot x \cdot \csc^{n-2}x + \int \cot x \cdot(n-2) \cdot \csc^{n-3}x (-\csc x \cot x)\mathrm{~d}x\\
&= -\cot x \cdot \csc^{n-2}x - (n-2)\int \cot^2x \csc^{n-2}x \mathrm{~d}x\\
&= -\cot x \cdot \csc^{n-2}x - (n-2)\int \frac{\cos^2x}{\sin^nx}\mathrm{~d}x\\
&= -\cot x \cdot \csc^{n-2}x - (n-2)\int \frac{\color{red}{1-\sin^2x}}{\sin^nx}\mathrm{~d}x\\
&= -\cot x \cdot \csc^{n-2}x - (n-2)\int \frac{1}{\sin^nx}\mathrm{~d}x + (n-2)\int\frac{1}{\sin^{n-2}x}\mathrm{~d}x\\
&= -\cot x \cdot \csc^{n-2}x - (n-2)\int \csc^nx\mathrm{~d}x + (n-2)\int \csc^{n-2}x \mathrm{~d}x\\
\end{aligned}
\]
当然不用切化弦也是可以的，只需要利用恒等式 \(1+\cot^2x=\csc^2x\) 即可，但是这个用的比较少，大家可能掌握的没有正余弦好。
记原积分为 \(I_n\)，则上式得到的就是一个递推式：
\[
I_n = -\cot x \cdot \csc^{n-2}x - (n-2)I_{n} + (n-2)I_{n-2}
\]
整理一下，得到：
\[
I_n = -\frac1{n-1} \cot x \cdot \csc^{n-2}x + \frac{n-2}{n-1} I_{n-2}
\]
例 5 ¶
Example
求积分：
\[
\int \sec^nx \mathrm{~d}x
\]
解：由于 \((\tan x)' = \sec^2 x\)，所以我们需要拿出两个 \(\sec x\) 来凑微分：
\[
\begin{aligned}
\int \sec^nx \mathrm{~d}x &= \int \sec^{n-2}x \cdot \sec^2 x \mathrm{~d}x\\
&= \int \sec^{n-2}x \;\mathrm{~d}(\tan x)\\
&= \tan x \cdot \sec^{n-2}x - \int \tan x \cdot(n-2) \cdot \sec^{n-3}x (\sec x \tan x)\mathrm{~d}x\\
&= \tan x \cdot \sec^{n-2}x - (n-2)\int \tan^2x \sec^{n-2}x \mathrm{~d}x\\
&= \tan x \cdot \sec^{n-2}x - (n-2)\int {\color{red}{(\sec^2x-1)}}\sec^{n-2}x\mathrm{~d}x\\
&= \tan x \cdot \sec^{n-2}x - (n-2)\int \sec^nx\mathrm{~d}x + (n-2)\int \sec^{n-2}x\mathrm{~d}x\\
\end{aligned}
\]
记原积分为 \(I_n\)，则上式得到的就是一个递推式：
\[
I_n = \tan x \cdot \sec^{n-2}x - (n-2)I_{n} + (n-2)I_{n-2}
\]
整理一下，得到：
\[
I_n = \frac1{n-1} \tan x \cdot \sec^{n-2}x + \frac{n-2}{n-1} I_{n-2}
\]
例 6 ¶
Example
求积分：
\[
\int \cos^mx\cdot\sin^nx\mathrm{~d}x
\]
解：很显然拿出一个 \(\cos x\) 或者一个 \(\sin x\) 去凑微分都是可做的，这里给出把 \(\cos x\) 向后凑微分的过程，把 \(\sin x\) 向后凑微分就只给出最后的结论了。
\[
\begin{aligned}
\int \cos^mx\cdot\sin^nx\mathrm{~d}x &= \int \cos^{m-1}x \cdot\sin^nx\mathrm{~d}(\sin x)\\
&= \frac1{n+1}\int \cos^{m-1}x\;\mathrm{~d}(\sin^{n+1}x)\\
&= \frac1{n+1}\cos^{m-1}x\sin^{n+1}x-\frac1{n+1}\int \sin^{n+1}x\cdot (m-1)\cos^{m-2}\cdot (-\sin x)\mathrm{~d}x\\
&= \frac1{n+1}\cos^{m-1}x\sin^{n+1}x + \frac{m-1}{n+1}\int \sin^{n+2}x\cos^{m-2}x\mathrm{~d}x\\
&= \frac1{n+1}\cos^{m-1}x\sin^{n+1}x + \frac{m-1}{n+1}\int {\color{red}{\sin^nx(1-\cos^2x)}}\cos^{m-2}\mathrm{~d}x\\
&= \frac1{n+1}\cos^{m-1}x\sin^{n+1}x + \frac{m-1}{n+1}\int\sin^nx\cos^{m-2}x - \frac{m-1}{n+1}\sin^nx\cos^mx\mathrm{~d}x
\end{aligned}
\]
记原积分为 \(I(n,m)\)，则上式得到的就是一个递推式：
\[
I(n,m) = \frac1{n+1}\cos^{m-1}x\sin^{n+1}x + \frac{m-1}{n+1}I(n,m-2) - \frac{m-1}{n+1}I(n,m)
\]
整理一下，得到：
\[
I(n,m) = \frac1{m+n}\cos^{m-1}x\sin^{n+1}x + \frac{m-1}{m+n}I(n,m-2)
\]
也就是说，我们第一步把 \(\cos x\) 向后凑微分推导出的最终结论是关于 \(\cos\) 的指数 \(m\) 的一个递推式，那么同理，如果我们第一步是吧 \(\sin x\) 向后凑微分，那么得到的最终结论就是一个关于 \(\sin\) 的指数 \(n\) 的一个递推式，过程读者可以自行推导，我在这里给出结论：
\[
I(n,m) = -\frac1{m+n}\cos^{m+1}x\sin^{n-1}x + \frac{n-1}{m+n}I(n-2,m)
\]
这两个结论其实还蛮对称的。
例 7 ¶
Example
求积分：
\[
\int x^n\mathrm{e}^{ax}\mathrm{~d}x
\]
解：反对幂指三，所以我们把指数部分向后凑微分：
\[
\begin{aligned}
\int x^n\mathrm{e}^{ax}\mathrm{~d}x &= \frac1a\int x^n\mathrm{~d}(\mathrm{e}^{ax})\\
&= \frac1a x^n \mathrm{e}^{ax} - \frac1a\int \mathrm{e}^{ax}\cdot nx^{n-1}\mathrm{~d}x\\
&= \frac1a x^n \mathrm{e}^{ax} - \frac na \int x^{n-1}\mathrm{e}^{ax}\mathrm{~d}x
\end{aligned}
\]
记原积分为 \(I_n\)，则上式得到的就是一个递推式：
\[
I_n = \frac1a x^n \mathrm{e}^{ax} - \frac na I_{n-1}
\]
例 8 ¶
Example
求积分：
\[
\int x^n a^x \mathrm{~d}x
\]
解：思路同上题，指数部分向后凑微分：
\[
\begin{aligned}
\int x^n a^x \mathrm{~d}x &= \frac1{\ln a}\int x^n \mathrm{~d}(a^x)\\
&= \frac1{\ln a} x^na^x - \frac1{\ln a}\int a^x \cdot nx^{n-1}\mathrm{~d}x\\
&= \frac1{\ln a} x^na^x - \frac n{\ln a} \int x^{n-1}a^x \mathrm{~d}x
\end{aligned}
\]
记原积分为 \(I_n\)，则上式得到的就是一个递推式：
\[
I_n = \frac1{\ln a} x^na^x - \frac n{\ln a} I_{n-1}
\]
例 9 ¶
Example
求积分：
\[
\int \mathrm{e}^{ax}\sin^{n}bx\mathrm{~d}x
\]
解：本题难度较高，但本质还是分部积分：
\[
\begin{aligned}
\int \mathrm{e}^{ax}\sin^{n}bx\mathrm{~d}x &= \int \mathrm{e}^{ax}\sin^{n-2}bx\cdot\sin^2bx\mathrm{~d}x\\
&= \int \mathrm{e}^{ax}\sin^{n-2}bx{\color{red}{(1-\cos^2bx)}}\mathrm{~d}x\\
&= \int \mathrm{e}^{ax}\sin^{n-2}bx\mathrm{~d}x - \int \mathrm{e}^{ax}\sin^{n-2}bx\cos^{2}bx\mathrm{~d}x\quad\quad \cdots\cdots\cdots(1)
\end{aligned}
\]
记原积分为 \(I_n\) ，对于 \((1)\) 式中的第二个积分（后续记为 \(J\)
\[
\begin{aligned}
\int \mathrm{e}^{ax}\sin^{n-2}bx\cos^{2}bx\mathrm{~d}x &= \frac1b\int \mathrm{e}^{ax}\sin^{n-2}bx\cos bx\mathrm{~d}(\sin bx)\\
&= \frac1{b(n-1)}\int \mathrm{e}^{ax}\cos bx\mathrm{~d}(\sin^{n-1}bx)\\
&= \frac1{b(n-1)}\mathrm{e}^{ax}\cos bx\sin^{n-1}bx - \frac1{b(n-1)}\int \sin^{n-1}bx\;\mathrm{~d}(\mathrm{e}^{ax}\cos bx)\\
&= \frac{\mathrm{e}^{ax}\cos bx\sin^{n-1}bx}{b(n-1)}
-\frac{1}{b(n-1)}\int \mathrm{e}^{ax}\sin^{n-1}bx\big({\color{red}{a\cos bx-b\sin bx}}\big)\mathrm{~d}x\\
&= \frac{\mathrm{e}^{ax}\cos bx\sin^{n-1}bx}{b(n-1)}
-\frac{a}{b(n-1)} {\color{blue}{\int \mathrm{e}^{ax}\sin^{n-1}bx\cos bx \,\mathrm{~d}x}}
+\frac{1}{n-1}\int \mathrm{e}^{ax}\sin^{n}bx\,\mathrm{~d}x\\
&= \frac{\mathrm{e}^{ax}\cos bx\sin^{n-1}bx}{b(n-1)}
-\frac{a}{b(n-1)}\left( {\color{blue}{\frac{\mathrm{e}^{ax}\sin^n bx}{bn}-\frac{a}{bn}\int \mathrm{e}^{ax}\sin^n bx\mathrm{~d}x} }\right)
+\frac{1}{n-1}I_n\\
&= \frac{\mathrm{e}^{ax}\cos bx\sin^{n-1}bx}{b(n-1)}
-\frac{a\mathrm{e}^{ax}\sin^n bx}{b^2n(n-1)}
+\frac{a^2}{b^2n(n-1)}I_n
+\frac{1}{n-1}I_n\quad\quad \cdots\cdots\cdots(2)
\end{aligned}
\]
其中蓝色部分的积分使用的方法和上面这个公式块里面的第一步是一样的，都是先拿出一个 \(\cos\) 向后凑微分，然后再对 \(\sin^n x\) 整体凑微分。
接下来我们记：
\[
J=\int \mathrm{e}^{ax}\sin^{n-2}bx\cos^2 bx\,\mathrm{~d}x
\]
根据 \((1)(2)\) 两个等式，我们表示为递推式的形式，即：
\[
I_n = I_{n-2}-J \tag{1'}
\]
\[
J = \frac{\mathrm{e}^{ax}\cos bx\sin^{n-1}bx}{b(n-1)} -\frac{a\mathrm{e}^{ax}\sin^n bx}{b^2n(n-1)} +\frac{a^2}{b^2n(n-1)}I_n +\frac{1}{n-1}I_n \tag{2'}
\]
将 \((2')\) 代入 \((1')\)：
\[
I_n =I_{n-2} -\frac{\mathrm{e}^{ax}\cos bx\sin^{n-1}bx}{b(n-1)} +\frac{a\mathrm{e}^{ax}\sin^n bx}{b^2n(n-1)} -\frac{a^2+bn}{b^2n(n-1)}I_n
\]
化简得最终递推式：
\[
\boxed{ I_n =\frac{b^2n(n-1)}{a^2+b^2n^2}\,I_{n-2} +\frac{\mathrm{e}^{ax}\sin^{n-1}bx\big(a\sin bx-bn\cos bx\big)}{a^2+b^2n^2} }
\]
例 10 ¶
Example
求积分：
\[
\int \mathrm{e}^{ax}\cos^{n}bx\mathrm{~d}x
\]
解：思路和例题 9 完全一样，过程太长不想敲了，我这里直接给出最终的结论，读者可以自行推导：
记原积分为 \(I_n\) 则有：
\[
I_n =\frac{b^2n(n-1)}{a^2+b^2n^2}\,I_{n-2} + \frac{\mathrm{e}^{ax}\cos^{n-1}bx\big(a\cos bx + bn\sin bx\big)}{a^2+b^2n^2}
\]
例 11 ¶
Example
求积分：
\[
\int (\ln x)^n \mathrm{~d}x
\]
解：直接使用分部积分：
\[
\begin{aligned}
I_n=\int (\ln x)^n \mathrm{~d}x
&= x(\ln x)^n - \int x\cdot n(\ln x)^{n-1}\cdot \frac{1}{x}\mathrm{~d}x\\
&= x(\ln x)^n - n\int (\ln x)^{n-1}\mathrm{~d}x\\
&= x(\ln x)^n - n\,I_{n-1}
\end{aligned}
\]
例 12 ¶
Example
求积分：
\[
\int x^m (\ln x)^n \mathrm{~d}x
\]
解：反对幂指三，所以把幂函数部分向后凑微分，得：
\[
\begin{aligned}
I(m,n)=\int x^m (\ln x)^n \mathrm{~d}x
&=\frac{x^{m+1}}{m+1}(\ln x)^n-\int \frac{x^{m+1}}{m+1}\cdot \frac{n(\ln x)^{n-1}}{x}\mathrm{~d}x\\
&=\frac{x^{m+1}}{m+1}(\ln x)^n-\frac{n}{m+1}\int x^m(\ln x)^{n-1}\mathrm{~d}x\\
&=\frac{x^{m+1}}{m+1}(\ln x)^n-\frac{n}{m+1}\,I(m,n-1)
\end{aligned}
\]
例 13 ¶
Example
求积分：
\[
\int \arcsin^n x \mathrm{~d}x
\]
解：两次分部积分：
\[
\begin{aligned}
\int \arcsin^n x \mathrm{~d}x &= x \cdot \arcsin^n x - \int x \cdot n\arcsin^{n-1}x \cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \mathrm{~d}x\\
&= x\arcsin^n x - n\int \arcsin^{n-1}x \cdot \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\mathrm{~d}x\\
&= x\arcsin^n x - n\int \arcsin^{n-1}x \mathrm{~d}(-\sqrt{1-x^2})\\
&= x\arcsin^n x + n\sqrt{1-x^2}\arcsin^{n-1}x - n\int \sqrt{1-x^2}(n-1)\arcsin^{n-2}x\cdot\frac1{\sqrt{1-x^2}} \mathrm{~d}x\\
&= x\arcsin^n x + n\sqrt{1-x^2}\arcsin^{n-1}x - n(n-1)\int \arcsin^{n-2}x \mathrm{~d}x\\
\end{aligned}
\]
记原积分为 \(I_n\)，则上式得到的就是一个递推式：
\[
I_n= x\arcsin^n x + n\sqrt{1-x^2}\arcsin^{n-1}x - n(n-1)I_{n-2}
\]
例 14 ¶
Example
求积分：
\[
\int \frac{x^n}{\sqrt{1-x^2}} \mathrm{~d}x
\]
解：
\[
\begin{aligned}
\int \frac{x^n}{\sqrt{1-x^2}} \mathrm{~d}x &= \int\frac{\color{red}{x^{n-2}(x^2-1)+x^{n-2}}}{\sqrt{1-x^2}}\mathrm{~d}x\\
&= -\int x^{n-2}\sqrt{1-x^2} \mathrm{~d}x + I_{n-2}\\
&= -\frac1{n-1}\int \sqrt{1-x^2}\mathrm{~d}(x^{n-1}) + I_{n-2}\\
&= -\frac{1}{n-1}x^{n-1}\sqrt{1-x^2} - \frac1{n-1}\int x^{n-1}\cdot\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \mathrm{~d}x + I_{n-2}\\
&= -\frac{1}{n-1}x^{n-1}\sqrt{1-x^2} - \frac1{n-1}I_n + I_{n-2}\\
\end{aligned}
\]
移项化简得：
\[
I_n = -\frac{1}{n}x^{n-1}\sqrt{1-x^2} + \frac{n-1}{n}I_{n-2}
\]
其中 \(I_0 = \arcsin x\) ； \(I_1 = -\sqrt{1-x^2}\)；\(I_2\) 不能直接计算，分母会有 \(0\)，可以考虑三角换元或者常数配凑，之后的积分均可由递推式得出。
Tip
总结一下，递推求解不定积分的核心就是凑微分和分部积分，常见的形式就是上面列出的这些，至于更复杂的情况都可以通过上面的方法进行求解。
习题 ¶
Question
\[
I_{n}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos ^{n}x\sin(nx) \mathrm{~d} x ,\quad n\in \mathbb{N}
\]
Answer
非常经典的一道题目。为了出现递推结构，我们需要让 \(\sin (nx)\) 中的 \(n\) 发生变化，因此考虑使用积化和差。
\[
\begin{aligned}
I_{n} &= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos ^{n-1}x\cdot \cos x\cdot\sin(nx) \mathrm{~d} x \\
&= \frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos ^{n-1}x \cdot[\sin(n+1)x+\sin(n-1)x] \mathrm{~d} x \\
&= \frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos ^{n-1}x\sin(n+1)x \mathrm{~d} x + \frac{1}{2}I_{n-1}\\
&= \frac{1}{2}I_{n-1} + \frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos ^{n-1}x\cdot [\sin nx\cdot \cos x+\cos nx\cdot \sin x] \mathrm{~d} x \\
&= \frac{1}{2}I_{n-1} + \frac{1}{2}I_{n} + \frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos ^{n-1}x\cdot\cos(nx)\cdot \sin x \mathrm{~d} x \\
&= \frac{1}{2}I_{n-1}+\frac{1}{2}I_{n}-\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos ^{n-1}x\cdot\cos(nx) \mathrm{~d} (\cos x)\\
&= \frac{1}{2}I_{n-1}+\frac{1}{2}I_{n}-\frac{1}{2n}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos(nx) \mathrm{~d} (\cos ^{n}x) \\
&= \frac{1}{2}I_{n-1}+\frac{1}{2}I_{n}-\frac{1}{2n}\cos(nx)\cos ^{n}x\bigg|_{0}^{\frac{\pi}{2}} + \frac{1}{2n}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos ^{n}x \cdot (-\sin(nx))\cdot n \mathrm{~d} x \\
&= \frac{1}{2}I_{n-1}+\frac{1}{2}I_{n}+\frac{1}{2n}-\frac{1}{2}I_{n}\\
&= \frac{1}{2}I_{n-1}+\frac{1}{2n}
\end{aligned}
\]
于是我们得到递推式：
\[
I_{n}=\frac{1}{2}I_{n-1}+\frac{1}{2n}
\]
且 \(I_{0}=0\)，同构得：
\[
2^{n}I_{n}=2^{n-1}I_{n-1} + \frac{2^{n-1}}{n}
\]
累加得：
\[
2^{n}I_{n}=\sum_{k=1}^{n} \frac{2^{k-1}}{k}
\]
故：
\[
I_{n}=\frac{1}{2^{n}}\sum_{k=1}^{n} \frac{2^{k-1}}{k}
\]
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