2012 年
第 1 题 ¶
Example
曲线 \(y=\dfrac{x^2+x}{x^2-1}\) 的渐近线的条数为 ?
(A) \(0\).
(B) \(1\).
(C) \(2\).
(D) \(3\).
选 C。注意分母的两个无定义点只有一个是铅直渐近线。
第 2 题 ¶
Example
设函数 \(f(x)=(\mathrm{e}^x-1)(\mathrm{e}^{2x}-2)\cdots(\mathrm{e}^{nx}-n)\)，其中 \(n\) 为正整数，则 \(f'(0)=\) ?
(A) \((-1)^{n-1}(n-1)!\).
(B) \((-1)^n(n-1)!\).
(C) \((-1)^{n-1}n!\).
(D) \((-1)^n n!\).
选 A。导数定义。
第 3 题 ¶
Example
如果函数 \(f(x,y)\) 在点 \((0,0)\) 处连续，那么下列命题正确的是 ?
(A) 若极限 \(\displaystyle \lim_{\substack{x\to0\\y\to0}}\frac{f(x,y)}{|x|+|y|}\) 存在，则 \(f(x,y)\) 在点 \((0,0)\) 处可微 .
(B) 若极限 \(\displaystyle \lim_{\substack{x\to0\\y\to0}}\frac{f(x,y)}{x^2+y^2}\) 存在，则 \(f(x,y)\) 在点 \((0,0)\) 处可微 .
(C) 若 \(f(x,y)\) 在点 \((0,0)\) 处可微，则极限 \(\displaystyle \lim_{\substack{x\to0\\y\to0}}\frac{f(x,y)}{|x|+|y|}\) 存在 .
(D) 若 \(f(x,y)\) 在点 \((0,0)\) 处可微，则极限 \(\displaystyle \lim_{\substack{x\to0\\y\to0}}\frac{f(x,y)}{x^2+y^2}\) 存在 .
选 B。非常经典的一道多元函数概念辨析题，熟练运用极限和无穷小的关系（也就是所谓的“脱帽法”）即可轻松解决，具体过程如图：
这里多说一句，即使 C 和 D 选项增加条件 \(f(0,0)=0\)，仍然是错误选项，读者请自行思考。
第 4 题 ¶
Example
设 \(\displaystyle I_k=\int_{0}^{k\pi}\mathrm{e}^{x^2}\sin x\,\mathrm{d}x\ (k=1,2,3)\)，则有 ?
(A) \(I_1<I_2<I_3\).
(B) \(I_3<I_2<I_1\).
(C) \(I_2<I_3<I_1\).
(D) \(I_2<I_1<I_3\).
选 D。画图即可。
第 5 题 ¶
Example
设
其中 \(c_1,c_2,c_3,c_4\) 为任意常数，则下列向量组线性相关的为 ?
(A) \(\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3\).
(B) \(\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_4\).
(C) \(\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_3,\boldsymbol{\alpha}_4\).
(D) \(\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3,\boldsymbol{\alpha}_4\).
送分题。选 C。
第 6 题 ¶
Example
设 \(A\) 为 \(3\) 阶矩阵，\(P\) 为 \(3\) 阶可逆矩阵，且
若 \(P=(\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3)\)，\(Q=(\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3)\)，则 \(Q^{-1}AQ=\) ?
(A) \(\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&1\end{pmatrix}\).
(B) \(\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&2\end{pmatrix}\).
(C) \(\begin{pmatrix}2&0&0\\0&1&0\\0&0&2\end{pmatrix}\).
(D) \(\begin{pmatrix}2&0&0\\0&2&0\\0&0&1\end{pmatrix}\).
选 B。利用三类初等矩阵的相关性质即可轻松解决，具体知识点见 1997 年第 20 题讲解。
第 7 题 ¶
Example
设随机变量 \(X\) 与 \(Y\) 相互独立，且分别服从参数为 \(1\) 与参数为 \(4\) 的指数分布，则 \(P\{X<Y\}=\) ?
(A) \(\dfrac{1}{5}\).
(B) \(\dfrac{1}{3}\).
(C) \(\dfrac{2}{3}\).
(D) \(\dfrac{4}{5}\).
选 A。根据定义一步步算就完了。
第 8 题 ¶
Example
将长度为 \(1\,\mathrm{m}\) 的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为 ?
(A) \(1\).
(B) \(\dfrac{1}{2}\).
(C) \(-\dfrac{1}{2}\).
(D) \(-1\).
选 D，送分题，而且并不是第一次考察。
第 9 题 ¶
Example
若函数 \(f(x)\) 满足方程 \(f''(x)+f'(x)-2f(x)=0\) 及 \(f''(x)+f(x)=2\mathrm{e}^x\)，则 \(f(x)=\) ?
最简单的方法当然是直接“注意到”。
常规方法：联立消去 \(f''\)，得到一个一阶线性微分方程，解出来后再代入第二个方程求出常数 \(C\) 即可。
第 10 题 ¶
Example
\(\displaystyle \int_{0}^{2}x\sqrt{2x-x^2}\,\mathrm{d}x=\) ?
对称性。
第 11 题 ¶
Example
\(\displaystyle \left.\operatorname{grad}\left(xy+\frac{z}{y}\right)\right|_{(2,1,1)}=\) ?
简单计算题。
第 12 题 ¶
Example
设 \(\Sigma=\{(x,y,z)\mid x+y+z=1,x\geqslant 0,y\geqslant 0,z\geqslant 0\}\)，则 \(\displaystyle \iint_\Sigma y^2\,\mathrm{d}S=\) ?
直接根据定义计算即可。
第 13 题 ¶
Example
设 \(\boldsymbol{\alpha}\) 为 \(3\) 维单位列向量，\(E\) 为 \(3\) 阶单位矩阵，则矩阵 \(E-\boldsymbol{\alpha}\boldsymbol{\alpha}^\mathrm{T}\) 的秩为 ?
考场最直接的做法当然是直接取特殊值。本质考察秩一矩阵的相关性质。
对秩一矩阵的 8 大性质不熟练的同学请移步下文：秩一矩阵
第 14 题 ¶
Example
设 \(A,B,C\) 是随机事件，\(A\) 与 \(C\) 互不相容，\(\displaystyle P(AB)=\frac{1}{2},\ P(C)=\frac{1}{3}\)，则 \(\displaystyle P\left(AB\,\big|\,\overline{C}\right)=\) ?
简单计算题。
第 15 题 ¶
Example
证明 : \(\displaystyle x\ln\frac{1+x}{1-x}+\cos x\geqslant 1+\frac{x^2}{2}\ (-1<x<1).\)
高中题。
第 16 题 ¶
Example
求函数 \(\displaystyle f(x,y)=x\mathrm{e}^{-\frac{x^2+y^2}{2}}\) 的极值 .
基础题，注意计算细节。
第 17 题 ¶
Example
求幂级数 \(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{4n^2+4n+3}{2n+1}x^{2n}\) 的收敛域及和函数 .
拆成两个级数分别计算和函数，很基础，注意 \(x=0\) 处即可。
第 18 题 ¶
Example
已知曲线 \(L:\begin{cases} x=f(t),\\ y=\cos t \end{cases}\left(0\leqslant t <\dfrac{\pi}{2}\right)\)，其中函数 \(f(t)\) 具有连续导数，且 \(f(0)=0,\ f'(t)>0\left(0 < t < \dfrac{\pi}{2}\right)\)。若曲线 \(L\) 的切线与 \(x\) 轴的交点到切点的距离恒为 \(1\)，求函数 \(f(t)\) 的表达式，并求以曲线 \(L\) 及 \(x\) 轴和 \(y\) 轴为边界的区域的面积 .
好题。第一问根据题意列出微分方程求解即可得到 \(f\) 的表达式。第二问十分创新，需要根据参数方程得到图像的大致走向，在计算过程中，注意利用第一问得到的 \(f'(t)\) 表达式简化计算，避免重复计算。
第 19 题 ¶
Example
已知 \(L\) 是第一象限中从点 \((0,0)\) 沿圆周 \(x^2+y^2=2x\) 到点 \((2,0)\)，再沿圆周 \(x^2+y^2=4\) 到点 \((0,2)\) 的曲线段，计算曲线积分 \(\displaystyle I=\int_L 3x^2y\,\mathrm{d}x+\big(x^3+x-2y\big)\mathrm{d}y\).
补线加格林。
第 20 题 ¶
Example
设\(A=\begin{pmatrix} 1 & a & 0 & 0\\ 0 & 1 & a & 0\\ 0 & 0 & 1 & a\\ a & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},\quad \boldsymbol{\beta}=\begin{pmatrix} 1\\ -1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}\) .
(1) 计算行列式 \(|A|\);
(2) 当实数 \(a\) 为何值时，方程组 \(A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta}\) 有无穷多解，并求其通解 .
第一问送分。
第二问，根据 \(\mathrm{Cramer}\) 法则可知只有 \(|A|=0\) 的时候才有可能出现无穷组解，从而得到 \(a\) 的可能取值，再分别检验即可。
第 21 题 ¶
Example
已知 \(A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 1\\ -1 & 0 & a\\ 0 & a & -1 \end{pmatrix}\)，二次型 \(f(x_1,x_2,x_3)=\boldsymbol{x}^\mathrm{T}(A^\mathrm{T}A)\boldsymbol{x}\) 的秩为 \(2\).
(1) 求实数 \(a\) 的值 ;
(2) 求正交变换 \(\boldsymbol{x}=Q\boldsymbol{y}\) 将二次型 \(f\) 化为标准形 .
第一问，根据 \(r(A)=r(A^{T}A)\) 得到 \(A\) 的秩。
第二问，非常常规。
第 22 题 ¶
Example
设二维离散型随机变量 \((X,Y)\) 的概率分布如下表所示。
(1) 求 \(P\{X=2Y\}\);
(2) 求 \(\operatorname{Cov}(X-Y,Y)\).
两问都很基础。
第 23 题 ¶
Example
设随机变量 \(X\) 与 \(Y\) 相互独立且分别服从正态分布 \(N(\mu,\sigma^2)\) 与 \(N(\mu,2\sigma^2)\)，其中 \(\sigma\) 是未知参数且 \(\sigma>0\). 记 \(Z=X-Y\).
(1) 求 \(Z\) 的概率密度 \(f(z;\sigma^2)\);
(2) 设 \(Z_1,Z_2,\dots,Z_n\) 为来自总体 \(Z\) 的简单随机样本，求 \(\sigma^2\) 的最大似然估计量 \(\widehat{\sigma^2}\);
(3) 证明 \(\widehat{\sigma^2}\) 为 \(\sigma^2\) 的无偏估计量 .
第一问，首先得到 \(Z\) 服从的概率分布为正态分布，所以可以直接得到概率密度函数。
第二问，简单的似然函数估计。
第三问，根据无偏性的定义求解即可。
以上就是对于 2012 年数一真题的全部解答，第 3 题是比较有难度的一道概念题；第 4 题属于很经典的一类定积分比大小题目；第 6 题注意方法选择；第 18 题是非常好的一道题目，十分考察分析问题的能力。其余题目都比较基础。
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