高中网红题
Example
证明：当 \(x>0\) 时，有 \(\mathrm{e}^{ x }>x^{2}+x\)
熟知：\(\mathrm{e}^{ x }\geqslant ex\)，则 \(\mathrm{e}^{ \frac{x}{2} }\geqslant \dfrac{e}{2}x\)
平方得：\(\mathrm{e}^{ x }\geqslant \dfrac{\mathrm{e}^{ 2 }}{4}x^{2}\)
则有：
\[
\begin{aligned}
x &\leqslant \frac{1}{e}\mathrm{e}^{ x }\\
x^{2}&\leqslant \frac{4}{\mathrm{e}^{ 2 }}\mathrm{e}^{ x }
\end{aligned}
\]
则对目标式右侧放缩，将 \(e\) 放缩到 \(2.5\)，将 \(\mathrm{e}^{ 2 }\) 放缩到 \(7\)，得：
\[
\begin{aligned}
x^{2}+x &\leqslant \frac{4}{\mathrm{e}^{ 2 }}\mathrm{e}^{ x }+\frac{1}{e}\mathrm{e}^{ x }\\
&\leqslant \frac{4}{7}\mathrm{e}^{ x }+\frac{1}{2.5}\mathrm{e}^{ x }\\
&\leqslant \frac{34}{35}\mathrm{e}^{ x }\\
&< \mathrm{e}^{ x }
\end{aligned}
\]
得证！
上述解法非原创。
- 更多精彩内容欢迎关注我的微信公众号！
搜一搜
