2008 年

Example

设函数 \(f(x)=\displaystyle\int_{0}^{x^2}\ln(2+t)\mathrm{d}t\)，则 \(f'(x)\) 的零点个数为 ?

(A) \(0\).

(B) \(1\).

(C) \(2\).

(D) \(3\).

Example

函数 \(f(x,y)=\arctan\dfrac{x}{y}\) 在点 \((0,1)\) 处的梯度等于 ?

(A) \(\boldsymbol{i}\).

(B) \(-\boldsymbol{i}\).

(C) \(\boldsymbol{j}\).

(D) \(-\boldsymbol{j}\).

Example

在下列微分方程中，以 \(y=C_1\mathrm{e}^x+C_2\cos 2x+C_3\sin 2x\)（\(C_1,C_2,C_3\) 为任意常数）为通解的是 ?

(A) \(y'''+y''-4y'-4y=0\).

(B) \(y'''+y''+4y'+4y=0\).

(C) \(y'''-y''-4y'+4y=0\).

(D) \(y'''-y''+4y'-4y=0\).

Example

设函数 \(f(x)\) 在 \((-\infty,+\infty)\) 内单调有界，\(\{x_n\}\) 为数列，下列命题正确的是 ?

(A) 若 \(\{x_n\}\) 收敛，则 \(\{f(x_n)\}\) 收敛 .

(B) 若 \(\{x_n\}\) 单调，则 \(\{f(x_n)\}\) 收敛 .

(C) 若 \(\{f(x_n)\}\) 收敛，则 \(\{x_n\}\) 收敛 .

(D) 若 \(\{f(x_n)\}\) 单调，则 \(\{x_n\}\) 收敛 .

Example

设 \(A\) 为 \(n\) 阶非零矩阵，\(E\) 为 \(n\) 阶单位矩阵，若 \(A^3=O\)，则 ?

(A) \(E-A\) 不可逆，\(E+A\) 不可逆 .

(B) \(E-A\) 不可逆，\(E+A\) 可逆 .

(C) \(E-A\) 可逆，\(E+A\) 可逆 .

(D) \(E-A\) 可逆，\(E+A\) 不可逆 .

Example

设 \(A\) 为 3 阶实对称矩阵，如果二次曲面方程

在正交变换下的标准方程的图形如图所示，则 \(A\) 的正特征值的个数为 ?

(A) \(0\).

(B) \(1\).

(C) \(2\).

(D) \(3\).

Example

设随机变量 \(X,Y\) 独立同分布，且 \(X\) 的分布函数为 \(F(x)\)，则 \(Z=\max\{X,Y\}\) 的分布函数为 ?

(A) \(F^2(x)\).

(B) \(F(x)F(y)\).

(C) \(1-[1-F(x)]^2\).

(D) \([1-F(x)][1-F(y)]\).

Example

设随机变量 \(X\sim N(0,1),Y\sim N(1,4)\)，且相关系数 \(\rho_{XY}=1\)，则 ?

(A) \(P\{Y=-2X-1\}=1\).

(B) \(P\{Y=2X-1\}=1\).

(C) \(P\{Y=-2X+1\}=1\).

(D) \(P\{Y=2X+1\}=1\).

Example

微分方程 \(xy'+y=0\) 满足条件 \(y(1)=1\) 的解是 \(y=\) ?

Example

曲线 \(\sin(xy)+\ln(y-x)=x\) 在点 \((0,1)\) 处的切线方程是 ?

Example

已知幂级数 \(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x+2)^n\) 在 \(x=0\) 处收敛 , 在 \(x=-4\) 处发散 , 则幂级数 \(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-3)^n\) 的收敛域为 ?

Example

设曲面 \(\Sigma\) 是 \(z=\sqrt{4-x^2-y^2}\) 的上侧 , 则 \(\displaystyle\iint_{\Sigma}xy\,\mathrm{d}y\mathrm{d}z+x\,\mathrm{d}z\mathrm{d}x+x^2\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\) ?

Example

设 \(A\) 为 \(2\) 阶矩阵 , \(\alpha_1,\alpha_2\) 为线性无关的 \(2\) 维列向量 , \(A\alpha_1=0,\,A\alpha_2=2\alpha_1+\alpha_2\), 则 \(A\) 的非零特征值为 ?

Example

设随机变量 \(X\) 服从参数为 \(1\) 的泊松分布 , 则 \(P\{X=E(X^2)\}=\) ?

Example

求极限 \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{[\sin x-\sin(\sin x)]\sin x}{x^4}.\)

Example

计算曲线积分 \(\displaystyle\int_L \sin2x\,\mathrm{d}x+2(x^2-1)y\,\mathrm{d}y\), 其中 \(L\) 是曲线 \(y=\sin x\) 上从点 \((0,0)\) 到点 \((\pi,0)\) 的一段 .

Example

已知曲线 \(C\):

求曲线 \(C\) 上距离 \(xOy\) 面最远的点和最近的点 .

Example

设 \(f(x)\) 是连续函数 ,

(1) 利用定义证明函数 \(\displaystyle F(x)=\int_{0}^{x}f(t)\mathrm{d}t\) 可导 , 且 \(F'(x)=f(x)\);

(2) 当 \(f(x)\) 是以 \(2\) 为周期的周期函数时 , 证明 \(\displaystyle G(x)=2\int_{0}^{x}f(t)\mathrm{d}t-x\int_{0}^{2}f(t)\mathrm{d}t\) 也是以 \(2\) 为周期的周期函数 .

Example

将函数 \(f(x)=1-x^2\;(0\leqslant x\leqslant \pi)\) 展开成余弦级数 , 并求 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n^2}\) 的和 .

Example

设 \(\alpha,\beta\) 为 \(3\) 维列向量 , 矩阵 \(A=\alpha\alpha^\mathrm{T}+\beta\beta^\mathrm{T}\), 其中 \(\alpha^\mathrm{T},\beta^\mathrm{T}\) 分别是 \(\alpha,\beta\) 的转置 . 证明 :

(1) 秩 \(r(A)\leqslant 2\);

(2) 若 \(\alpha,\beta\) 线性相关 , 则秩 \(r(A)<2\).

Example

设 \(n\) 元线性方程组 \(Ax=b\), 其中

(1) 证明行列式 \(|A|=(n+1)a^n\);

(2) 当 \(a\) 为何值时 , 该方程组有唯一解 , 并求 \(x_1\);

(3) 当 \(a\) 为何值时 , 该方程组有无穷多解 , 并求通解 .

Example

设随机变量 \(X\) 与 \(Y\) 相互独立 , \(X\) 的概率分布为 \(P\{X=i\}=\dfrac{1}{3}\ (i=-1,0,1)\), \(Y\) 的概率密度为

记 \(Z=X+Y\).

(1) 求 \(P\left\{Z\leqslant \dfrac{1}{2}\,\big|\, X=0\right\}\);

(2) 求 \(Z\) 的概率密度 \(f_Z(z)\).

Example

设 \(X_1,X_2,\dots,X_n\) 是总体 \(N(\mu,\sigma^2)\) 的简单随机样本 , 记

(1) 证明 \(T\) 是 \(\mu^2\) 的无偏估计量 ;

(2) 当 \(\mu=0,\sigma=1\) 时 , 求 \(D(T)\).