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2024 年

第 1 题

Example

已知函数 \(\displaystyle f(x)=\int_{0}^{x}e^{\cos t}\mathrm{d}t,\ g(x)=\int_{0}^{\sin x}e^{t^2}\mathrm{d}t\)，则 ?

(A) \(f(x)\) 为奇函数，\(g(x)\) 为偶函数

(B) \(f(x)\) 为偶函数，\(g(x)\) 为奇函数

(C) \(f(x)\) 与 \(g(x)\) 均为奇函数

(D) \(f(x)\) 与 \(g(x)\) 均为周期函数

考察变限积分和复合函数的奇偶性，选 C。

关于变限积分的奇偶性，唯一需要注意的是当内层函数偶函数，只有当变限积分的下限是 0 的时候才有整体是奇函数这一结论，本题并未涉及。

第 2 题

Example

设 \(P=P(x,y,z),\ Q=Q(x,y,z)\) 均为连续函数，\(\Sigma\) 为曲面 \(z=\sqrt{1-x^2-y^2}\ (x\geqslant 0,y\geqslant 0)\) 的上侧，则 \(\displaystyle\iint_{\Sigma}P\,\mathrm{d}y\mathrm{d}z+Q\,\mathrm{d}z\mathrm{d}x=\) ?

(A) \(\displaystyle \iint_{\Sigma}\left(\frac{x}{z}P+\frac{y}{z}Q\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\)

(B) \(\displaystyle \iint_{\Sigma}\left(-\frac{x}{z}P+\frac{y}{z}Q\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\)

(C) \(\displaystyle \iint_{\Sigma}\left(\frac{x}{z}P-\frac{y}{z}Q\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\)

(D) \(\displaystyle \iint_{\Sigma}\left(-\frac{x}{z}P-\frac{y}{z}Q\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\)

转换投影法，和 2020 年数一第 18 题考点一致。选 A。

第 3 题

Example

已知幂级数 \(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\) 的和函数为 \(\ln(2+x)\)，则 \(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}na_{2n}=\) ?

(A) \(-\dfrac{1}{6}\)

(B) \(-\dfrac{1}{3}\)

(C) \(\dfrac{1}{6}\)

(D) \(\dfrac{1}{3}\)

选 A，两种做法。最直接的想法自然是将 \(\ln(2+x)\) 展开成关于 \(x\) 的幂级数，从而得到 \(a_{n}\) 的通式代入计算。

第二种方法，直接对幂级数求导，分别赋值凑出要求的幂级数。

第 4 题

Example

设函数 \(f(x)\) 在区间 \((-1,1)\) 内有定义，\(\displaystyle \lim_{x\to0}f(x)=0\)，则 ?

(A) 当 \(\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x}=m\) 时，\(f'(0)=m\)

(B) 当 \(f'(0)=m\) 时，\(\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x}=m\)

(C) 当 \(\displaystyle \lim_{x\to0}f'(x)=m\) 时，\(f'(0)=m\)

(D) 当 \(f'(0)=m\) 时，\(\displaystyle \lim_{x\to0}f'(x)=m\)

选 B。排除 AC 后可根据选项的强弱关系排除 D 选项。

第 5 题

Example

在空间直角坐标系 \(O-xyz\) 中，三个平面 \(\pi_i:a_ix+b_iy+c_iz=d_i\ (i=1,2,3)\) 位置关系如图所示，记 \(\boldsymbol{\alpha}_i=(a_i,b_i,c_i),\ \boldsymbol{\beta}_i=(a_i,b_i,c_i,d_i)\)，若

\[ r\begin{pmatrix}\boldsymbol{\alpha}_1\\\boldsymbol{\alpha}_2\\\boldsymbol{\alpha}_3\end{pmatrix}=m,\quad r\begin{pmatrix}\boldsymbol{\beta}_1\\\boldsymbol{\beta}_2\\\boldsymbol{\beta}_3\end{pmatrix}=n, \]

则 ?

(A) \(m=1,n=2\)

(B) \(m=n=2\)

(C) \(m=2,n=3\)

(D) \(m=n=3\)

选 B。由图可知方程组有无穷组解，和 02 年数一第 9 题基本一致。

第 6 题

Example

设向量

\[ \boldsymbol{\alpha}_1=\begin{pmatrix}a\\1\\-1\\1\end{pmatrix},\ \boldsymbol{\alpha}_2=\begin{pmatrix}1\\1\\b\\a\end{pmatrix},\ \boldsymbol{\alpha}_3=\begin{pmatrix}1\\a\\-1\\1\end{pmatrix}, \]

若 \(\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3\) 线性相关，且其中任意两个向量均线性无关，则 ?

(A) \(a=1,\ b\ne-1\)

(B) \(a=1,\ b=-1\)

(C) \(a\ne-2,\ b=2\)

(D) \(a=-2,\ b=2\)

选 D。直接列变换即可（显然 \(a\neq 1\)，于是可以排除 ABC 三个选项……非常抽象的选项设计，命题人大放水）。

常规做法根据 \(\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}\) 相关得到子阵的行列式必为 0，从而求出 \(a=1\) 或 \(a=2\)，而 \(a=1\) 显然排除。再根据第 1,2,4 行发现 \(\alpha_{1}+\alpha_{2}+\alpha_{3}=0\)，从而求出 \(b=2\).

第 7 题

Example

\(3\) 阶矩阵 \(A\) 的秩为 \(2\)，非零向量 \(\boldsymbol{\alpha}\) 满足 \(A\boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{0}\)，任意向量 \(\boldsymbol{\beta}\)，使得 \(\boldsymbol{\beta}^T\boldsymbol{\alpha}=0\)，且 \(A\boldsymbol{\beta}=\boldsymbol{\beta}\)，则下列结论正确的是 ?

(A) \(A^3\) 的迹为 \(2\)

(B) \(A^3\) 的迹为 \(5\)

(C) \(A^5\) 的迹为 \(7\)

(D) \(A^5\) 的迹为 \(9\)

基础题，过程如图，选 A。

第 8 题

Example

设随机变量 \(X\) 与 \(Y\) 独立，\(X\) 服从 \(N(0,2)\) 的正态分布，\(Y\) 服从 \(N(-2,2)\) 的正态分布，若 \(P\{2X+Y<a\}=P\{X>Y\}\)，则 \(a=\) ?

(A) \(-2-\sqrt{10}\)

(B) \(-2+\sqrt{10}\)

(C) \(-2-\sqrt{6}\)

(D) \(-2+\sqrt{6}\)

选 B。标准化即可。

第 9 题

Example

设随机变量 \(X\) 的概率密度为

\[ f(x)= \begin{cases} 2(1-x),&0 < x < 1\\ 0,&\text{其它} \end{cases} \]

在 \(X=x\ (0 < x < 1)\) 的条件下，\(Y\) 在区间 \((x,1)\) 上服从均匀分布，则 \(\operatorname{Cov}(X,Y)=\) ?

(A) \(-\dfrac{1}{36}\)

(B) \(-\dfrac{1}{72}\)

(C) \(\dfrac{1}{72}\)

(D) \(\dfrac{1}{36}\)

选 D。非常好的一道概率小题。根据重期望公式 \(EX=E[E(X|Y)]\) 可以对协方差进行化简：

协方差重要结论

\[ \begin{aligned} \operatorname{Cov} &= E(XY)-EX\cdot EY\\ &= E[E(XY|X)] - EX\cdot E[E(Y|X)]\\ &= E[X\cdot E(Y|X)] - EX\cdot E[E(Y|X)]\\ &= \operatorname{Cov}(X,E(Y|X)) \end{aligned} \]

剩下的就纯计算了，无难度。

第 10 题

Example

设随机变量 \(X\)、\(Y\) 相互独立，且均服从参数为 \(\lambda\) 的指数分布，令 \(Z=|X-Y|\)，则下列随机变量与 \(Z\) 同分布的是 ?

(A) \(X+Y\)

(B) \(\dfrac{X+Y}{2}\)

(C) \(2X\)

(D) \(X\)

选 D，独立同分布的指数分布之差服从 \(\mathrm{Laplace}\) 分布，概率密度函数为 \(f(x)= \frac{\lambda}{2}\mathrm{e}^{ -\lambda |x| }\)；然后题目又对随机变量加了个绝对值，那么根据对称性，概率密度函数就变成了 \(\lambda \mathrm{e}^{ -\lambda x }\)，显然服从指数分布，即与 \(X\) 同分布。

第 11 题

Example

若 \(\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{(1+ax^2)^{\sin x}-1}{x^3}=6\)，则 \(a=\) ?

送分题。

第 12 题

Example

\(z=f(u,v)\) 有二阶连续导数，\(\mathrm{d}f\big|_{(1,1)}=3\,\mathrm{d}u+4\,\mathrm{d}v\)，\(y=f(\cos x,1+x^2)\)，则 \(\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}\right|_{x=0}=\) ?

简单计算题。

第 13 题

Example

若函数 \(f(x)=x+1\)，\(\displaystyle f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos nx,\ x\in[0,\pi]\)，则极限 \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}n^2\sin a_{2n-1}=\) ?

热门考点傅里叶级数，直接套公式即可。

第 14 题

Example

微分方程 \(\displaystyle y'=\frac{1}{(x+y)^2}\)，满足条件 \(y(1)=0\) 的解为 ?

同济课后题。换不换元皆可，打包分离变量。

第 15 题

Example

设实矩阵 \(\displaystyle A=\begin{pmatrix}a+1&a\\a&a\end{pmatrix}\)，若对任意实向量 \(\displaystyle \boldsymbol{\alpha}=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix},\ \boldsymbol{\beta}=\begin{pmatrix}y_1\\y_2\end{pmatrix}\)，\((\boldsymbol{\alpha}^TA\boldsymbol{\beta})^2\leqslant \boldsymbol{\alpha}^TA\boldsymbol{\alpha}\cdot \boldsymbol{\beta}^TA\boldsymbol{\beta}\) 都成立，则 \(a\) 的取值范围是 ?

内积空间下的柯西不等式，条件为 \(A\) 半正定，从而得到 \(a\geqslant 0\)。

当然非数的同学对上面这个结论肯定不熟悉，因此考虑合同变化。将 \(A\) 合同至 \(\displaystyle \begin{pmatrix}1 & \\ & a\end{pmatrix}\)，直接代入得到关于 \(a\) 的一个二次不等式，直接解出 \(a\geqslant 0\)。

第 16 题

Example

随机试验每次成功的概率为 \(p\)，现进行三次独立重复实验，已知至少成功一次的条件下全部成功概率为 \(\dfrac{4}{13}\)，则 \(p=\) ?

二项分布基础题。

第 17 题

Example

已知平面区域 \(D=\{(x,y)\mid \sqrt{1-y^2}\leqslant x\leqslant 1,\ -1\leqslant y\leqslant 1\}\)，计算

\[ \iint_D \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\,\mathrm{d}\sigma. \]

要对基础的积分公式足够熟练，比如下面这三个：

常用积分公式

\[ \begin{aligned} \int \sqrt{ x^{2}-a^{2} }\mathrm{~d} x &= \frac{1}{2}(x\sqrt{ x^{2}-a^{2} } - a^{2}\ln |x-\sqrt{ x^{2}-a^{2} }|) +C\\ \int \sqrt{ x^{2}+a^{2} }\mathrm{~d} x &= \frac{1}{2}(x\sqrt{ x^{2}+a^{2} }+a^{2}\ln(x+\sqrt{ x^{2}+a^{2} })) +C\\ \int \sqrt{ a^{2}-x^{2} }\mathrm{~d} x &= \frac{1}{2}\left( x\sqrt{ a^{2}-x^{2} }+a^{2}\cdot \arcsin \frac{x}{a} \right) +C \end{aligned} \]

具体过程如下：

第 18 题

Example

设 \(f(x,y)=x^3+y^3-(x+y)^2+3\)，曲面 \(z=f(x,y)\) 在 \((1,1,1)\) 处的切平面为 \(T\)，\(T\) 与三个坐标面所围有界区域在 \(xOy\) 面的投影为 \(D\)

(1) 求 \(T\) 的方程

(2) 求 \(f(x,y)\) 在 \(D\) 上的最大值和最小值 .

基础题，注意所有的边界情况别忘记讨论了。

第 19 题

Example

设 \(f(x)\) 二阶可导，\(f'(0)=f'(1)\)，\(|f''(x)|\leqslant 1\)，证明：

(1) 当 \(x\in(0,1)\) 时 \(\displaystyle \big|f(x)-f(0)(1-x)-f(1)x\big|\leqslant \frac{x(1-x)}{2}\)；

(2) \(\displaystyle \left|\int_0^1 f(x)\,\mathrm{d}x-\frac{f(0)+f(1)}{2}\right|\leqslant \frac{1}{12}\).

给了第一问，所有本题几乎没有任何难度。

第一问，\(x=1\) 和 \(x=0\) 出信息较多，因此将 \(f(x)\) 在这两点处泰勒展开即可。

第二问，对第一问得到的不等式积分即可。

事实上，第二问右侧的最佳系数为 \(\frac{1}{32}\)，具体证明看清疏公众号即可，写得很详细，推文如下：我是上古神族 ?- 考研数学一压轴题最优系数严格证明 .

第 20 题

Example

已知有向曲线 \(L\) 为球面 \(x^2+y^2+z^2=2x\) 与平面 \(2x-z-1=0\) 的交线，从 \(z\) 轴正向往 \(z\) 轴负向看去为逆时针方向，计算曲线积分

\[ \int_L \big(6xyz-yz^2\big)\mathrm{d}x+2x^2z\,\mathrm{d}y+xyz\,\mathrm{d}z. \]

直接斯托克斯即可，至于曲面面积的计算属于高中立体几何的知识。

第 21 题

Example

已知数列 \(\{x_n\},\{y_n\},\{z_n\}\) 满足 \(x_0=-1,\ y_0=0,\ z_0=2\)，且

\[ \begin{cases} x_n = -2x_{n-1}+2z_{n-1},\\ y_n = -2y_{n-1}-2z_{n-1},\\ z_n = -6x_{n-1}-3y_{n-1}+3z_{n-1}. \end{cases} \]

记 \(\boldsymbol{\alpha}_n=\begin{pmatrix}x_n\\y_n\\z_n\end{pmatrix}\)，写出满足 \(\boldsymbol{\alpha}_n=A\boldsymbol{\alpha}_{n-1}\) 的矩阵 \(A\)，并求 \(A^n\) 及 \(x_n,y_n,z_n\ (n=1,2,\cdots)\).

可以满秩分解做，但是计算量并不比直接使用 \(\mathrm{Cayley-Hamilton}\) 定理来得小，所以我就直接使用后者了。

第 22 题

Example

设总体 \(X\) 服从 \(U[0,\theta]\) 上的均匀分布，其中 \(\theta\in(0,+\infty)\) 为未知参数，\(X_1,\cdots,X_n\) 为来自总体 \(X\) 简单随机样本，\(X_{(n)}=\max\{X_1,X_2,\cdots,X_n\},\ T_c=cX_{(n)}\).

(1) 求 \(c\)，使得 \(T_c\) 为 \(\theta\) 的无偏估计；

(2) 记 \(h(c)=E(T_c-\theta)^2\)，求 \(c\) 使得 \(h(c)\) 最小 .

第一问，08 年数一第 7 题的结论，结合无偏性的定义即可解决。

第二问，一元函数极值问题。

以上就是对于 2024 年数一真题的全部解答，质量和难度都很高的一套真题。选择题难度主要集中在概率部分，第 9 题和第 10 题如果想不到好的处理方法计算量是非常大的；填空题难点在第 15 题，也是有背景的一道题，正文提供的第二种方法已经是常规方法中计算量偏小的了，但是计算量还是比较大；大题部分，由于整套试卷难度偏大，所以命题人在中值定理大题（第 19 题）放水了，给出了第一问；第 20 题如果方法选的不好的话计算量也是非常大的；第 21 题，这个计算量相比于 16 年算 99 次方那个题还是小不少的；其余题目都比较基础，但计算量整体比往年真题要高。

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