你好！Beta 函数
提到 \(\Gamma\) 函数，很多人会联想到 \(\mathrm{B}(\mathrm{Beta})\) 函数， \(\Gamma\) 函数是高数课本中的内容，介绍它的文章也有很多，常见的应用有高斯积分的计算、余元公式等。其实很多人都使用过 \(\mathrm{B}\) 函数，只不过自己不知道，比如高阶 \(\mathrm{Wallis}\) 公式的常见证明往往就需要使用到 \(\mathrm{B}\) 函数。
从本小节开始，我将带大家从 0 开始系统掌握 \(\mathrm{B}\) ，赶紧学习起来吧！
贝塔函数与第一类欧拉积分
\(\mathrm{B}(\mathrm{Beta})\) 函数为一双变量 \((p,q)\) 函数，常翻译为贝塔函数，它的定义为：
\[
\mathrm{B}(p,q)=\int_{0}^{1} x^{p-1}(1-x)^{q-1} \, \mathrm{d}x; \quad (p>0,q>0)
\]
上式右端有一个更有名的名字——第一类欧拉 ( \(\mathrm{Euler}\) ) 积分。而第二类欧拉 ( \(\mathrm{Euler}\) ) 积分就是我们熟知的 \(\Gamma\) 函数啦！
Tip
这个定义需要注意的是，\(p\) 和 \(q\) 是对称的，通过区间再现公式就可以发现这一点。
常见的还有一个扩展版本的第一类欧拉 ( \(\mathrm{Euler}\) ) 积分，表达式如下，其中第一个等号处我们作换元 \(x \leftarrow x^m\)：
\[
\begin{aligned}\int_{0}^{1} x^{p-1}(1-x^m)^{q-1} \, \mathrm{d}x&=
\frac1m \int_{0}^{1} x^{\frac{p}{m}-1}(1-x)^{q-1} \, \mathrm{d}x\\
&=\frac1m\mathrm{B}(\frac{p}{m},q)
; \end{aligned}\quad (p>0,q>0,m>0)
\]
贝塔函数的计算
若 \(p,q\) 均为正整数时有：
\[
\mathrm{B}(p,q)=\frac{\Gamma(p)\cdot\Gamma(q)}{\Gamma(p+q)}
\]
我们知道当 \(n\) 为正整数时，有：
\[ \Gamma(n)=(n-1)! \]
于是 \(p,q\) 均为正整数时有：
我们知道：
\[ \Gamma\left(\dfrac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi} \]
于是有：
\[
\mathrm{B}\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right) =\frac{\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)\cdot\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\right)} =\frac{\sqrt{\pi}\cdot\sqrt{\pi}}{1} =\pi
\]
其实这个分子也可以通过余元公式来进行求解（带大家多复习一个公式）：
\[
\Gamma(p)\Gamma(1-p)=\frac{\pi}{\sin p\pi}
\]
于是有：
\[
\mathrm{B}\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right) =\frac{\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)\cdot\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\right)} =\frac{\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)\cdot\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)}{\Gamma(1)} =\frac{\frac{\pi}{\sin\frac{\pi}{2}}}{1} =\pi
\]
例题
Example
\(\displaystyle\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x^{4}}} \mathrm{~d} x \cdot \int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{\sqrt{1-x^{4}}} \mathrm{~d} x=\frac{\pi}{4}\)
证明：我们利用 贝塔函数与第一类欧拉积分 中介绍的第一类欧拉 ( \(\mathrm{Euler}\) ) 积分的扩展版本进行求解：
\[
\begin{aligned}\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-x^4}}\,\mathrm{d}x
&=\int_0^1 (1-x^4)^{-\frac12}\,\mathrm{~d}x\\
&=\int_0^1 x^{1-1}(1-x^4)^{\frac12-1}\,\mathrm{d}x\\
&=\frac14\int_0^1 x^{\frac14-1}(1-x)^{\frac12-1}\,\mathrm{d}x\\
&=\frac14 B\left(\frac14,\frac12\right)\\
&=\frac14\cdot
\frac{\Gamma\left(\frac14\right)\Gamma\left(\frac12\right)}
{\Gamma\left(\frac14+\frac12\right)}\\
&=\frac14\cdot
\frac{\Gamma\left(\frac14\right)\Gamma\left(\frac12\right)}
{\Gamma\left(\frac34\right)}.
\end{aligned}
\]
\[
\begin{aligned}\int_0^1 \frac{x^2}{\sqrt{1-x^4}}\,\mathrm{d}x
&=\int_0^1 x^2(1-x^4)^{-\frac12}\,\mathrm{d}x\\
&=\frac14\int_0^1 x^{\frac34-1}(1-x)^{\frac12-1}\,\mathrm{d}x\\
&=\frac14 B\left(\frac34,\frac12\right)\\
&=\frac14\cdot
\frac{\Gamma\left(\frac34\right)\Gamma\left(\frac12\right)}
{\Gamma\left(\frac34+\frac12\right)}\\
&=\frac14\cdot
\frac{\Gamma\left(\frac34\right)\Gamma\left(\frac12\right)}
{\Gamma\left(\frac54\right)}.
\end{aligned}
\]
因此：
\[
\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-x^4}}\,\mathrm{d}x
\cdot
\int_0^1 \frac{x^2}{\sqrt{1-x^4}}\,\mathrm{d}x
=
\frac14\cdot
\frac{\Gamma\left(\frac14\right)\Gamma\left(\frac12\right)}
{\Gamma\left(\frac34\right)}
\cdot
\frac14\cdot
\frac{\Gamma\left(\frac34\right)\Gamma\left(\frac12\right)}
{\Gamma\left(\frac54\right)}.
\]
利用 \(\Gamma\) 函数的性质：
\[
\Gamma(n+1)=n\Gamma(n),
\]
则有：
\[
\Gamma\left(\frac54\right)
=
\Gamma\left(\frac14+1\right)
=
\frac14\Gamma\left(\frac14\right).
\]
代入分母得：
\[
\begin{aligned}\frac14\cdot
\frac{\Gamma\left(\frac14\right)\Gamma\left(\frac12\right)}
{\Gamma\left(\frac34\right)}
\cdot
\frac14\cdot
\frac{\Gamma\left(\frac34\right)\Gamma\left(\frac12\right)}
{\Gamma\left(\frac54\right)}
&=
\frac1{16}\cdot
\frac{
\Gamma\left(\frac14\right)
\Gamma\left(\frac34\right)
\Gamma\left(\frac12\right)
\Gamma\left(\frac12\right)
}
{
\Gamma\left(\frac54\right)
\Gamma\left(\frac34\right)
}\\
&=
\frac1{16}\cdot
\frac{
\Gamma\left(\frac14\right)
\Gamma\left(\frac34\right)
\Gamma\left(\frac12\right)
\Gamma\left(\frac12\right)
}
{
\frac14\,
\Gamma\left(\frac14\right)
\Gamma\left(\frac34\right)
}\\
&=
\frac14\,
\Gamma\left(\frac12\right)
\Gamma\left(\frac12\right)\\
&=
\frac14\,\pi.
\end{aligned}
\]
即：
\[
\boxed{
\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-x^4}}\,dx
\cdot
\int_0^1 \frac{x^2}{\sqrt{1-x^4}}\,dx
=
\frac{\pi}{4}
}.
\]
通过本节的学习，希望大家能对 \(\mathrm{B}(\mathrm{Beta})\) 函数的定义，性质，特殊值，以及它和第一类欧拉 ( \(\mathrm{Euler}\) ) 积分的相互转换、如何应用有初步的认识，接下来我还会通过其他几道经典例题帮助大家巩固 \(\mathrm{B}(\mathrm{Beta})\) 函数。掌握好本节的内容，下节见 ~
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