完结！
不知不觉 \(\mathrm{B}\) 函数专题已经要结束了，本小节就用一道综合性比较强的题目为这个专题画上一个圆满的句号吧！
这是一道经典的反常积分敛散性分析题目。要想顺利的解答这道题需要熟练掌握雅可比换元法、极坐标变换以及本专题的主角——贝塔函数，综合性拉满！
例题
Example
设区域 \(D = \{(x, y) \mid x > 0, y > 0\}\)，常数 \(\alpha > 0, \beta > 0\)。
已知二重积分：\(I = \displaystyle \iint_{D} \frac{\mathrm{d}x\mathrm{d}y}{1 + x^\alpha + y^\beta}\)
问 \(\alpha, \beta\) 满足什么关系时，该积分收敛？
解：首先我希望将分母的 \(x^\alpha + y^\beta\) 转化为平方和形式以便后续使用极坐标，故令：
\[
\begin{cases}
x^{\alpha} = u^{2} \implies x = u^{\frac{2}{\alpha}}\\
y^{\beta} = v^{2} \implies y = v^{\frac{2}{\beta}}
\end{cases}
\]
此时，新的积分区域为 \(D' = \{(u, v) \mid u > 0, v > 0\}\)。
计算该变换的雅可比行列式（Jacobian）
\[
J = \frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)} = \begin{vmatrix} \frac{2}{\alpha}u^{\frac{2}{\alpha}-1} & 0 \\ 0 & \frac{2}{\beta}v^{\frac{2}{\beta}-1} \end{vmatrix} = \frac{4}{\alpha\beta} u^{\frac{2}{\alpha}-1} v^{\frac{2}{\beta}-1}
\]
代入原积分中，得到：
\[
I = \iint_{D'} \frac{4}{\alpha\beta} \cdot \frac{u^{\frac{2}{\alpha}-1} v^{\frac{2}{\beta}-1}}{1 + u^2 + v^2} \mathrm{d}u\mathrm{d}v
\]
现在由于分母含有 \(u^2 + v^2\)，且区域 \(D'\) 是第一象限，故引入极坐标：
\[
u = r \cos\theta, \quad v = r \sin\theta
\]
其中积分变量的范围为：\(\theta \in \left(0, \dfrac{\pi}{2}\right)\)，\(r \in (0, +\infty)\)。极坐标变换的面积元为 \(\mathrm{d}u\mathrm{d}v = r \mathrm{d}r\mathrm{d}\theta\)。
代入后，可将积分变量 \(\theta\) 和 \(r\) 完全分离开来：
\[
I = \frac{4}{\alpha\beta} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\text{cos}\theta)^{\frac{2}{\alpha}-1} (\text{sin}\theta)^{\frac{2}{\beta}-1} \mathrm{d}\theta \cdot \int_{0}^{+\infty} \frac{r^{\left(\frac{2}{\alpha}-1\right) + \left(\frac{2}{\beta}-1\right)} \cdot r}{1 + r^2} \mathrm{d}r
\]
化简 \(r\) 的指数部分：
\[
\left(\frac{2}{\alpha}-1\right) + \left(\frac{2}{\beta}-1\right) + 1 = \frac{2}{\alpha} + \frac{2}{\beta} - 1
\]
因此积分式变为：
\[
I = \frac{4}{\alpha\beta} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^{\frac{2}{\alpha}-1}\theta \sin^{\frac{2}{\beta}-1}\theta \mathrm{d}\theta \cdot \int_{0}^{+\infty} \frac{r^{\frac{2}{\alpha} + \frac{2}{\beta} - 1}}{1 + r^2} \mathrm{d}r
\]
为了利用 \(\mathrm{B}\) 函数的经典公式，我们将系数 \(\dfrac{4}{\alpha\beta}\) 拆成 \(2 \times 2\) 分别乘入两个积分中：
\[
I = \frac{1}{\alpha\beta} \left( 2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^{\frac{2}{\alpha}-1}\theta \sin^{\frac{2}{\beta}-1}\theta \mathrm{d}\theta \right) \cdot \left( 2\int_{0}^{+\infty} \frac{r^{\frac{2}{\alpha} + \frac{2}{\beta} - 1}}{1 + r^2} \mathrm{d}r \right)
\]
根据 Beta 函数的三角形式 中讲解的 \(\mathrm{B}\) 函数的三角定义式：
\[
2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2p-1}\theta \cos^{2q-1}\theta \mathrm{d}\theta = \mathrm{B}(p, q)
\]
对照指数：
\[
\begin{cases}
2p - 1 = \frac{2}{\beta} - 1 \implies p = \frac{1}{\beta}\\
2q - 1 = \frac{2}{\alpha} - 1 \implies q = \frac{1}{\alpha}
\end{cases}
\]
所以，角度部分等于：\(\mathrm{B}\left(\dfrac{1}{\alpha}, \dfrac{1}{\beta}\right)\)。
其收敛条件根据 \(\mathrm{B}\) 定义为：\(\dfrac{1}{\alpha} > 0\) 且 \(\dfrac{1}{\beta} > 0\)（题目已知条件已满足）。
接下来看第二个括号里面的积分：
对于积分：
\[
2\int_{0}^{+\infty} \frac{r^{\frac{2}{\alpha} + \frac{2}{\beta} - 1}}{1 + r^2} \mathrm{d}r
\]
根据 Beta 函数的分式形式 中介绍的 \(\mathrm{B}\) 函数分式形式，我们令 \(t = r^2\)，则 \(\mathrm{d}r = \frac{1}{2}t^{-\frac{1}{2}}\mathrm{d}t\)：
\[
2\int_{0}^{+\infty} \frac{t^{\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} - \frac{1}{2}}}{1 + t} \cdot \frac{1}{2}t^{-\frac{1}{2}}\mathrm{d}t = \int_{0}^{+\infty} \frac{t^{\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} - 1}}{1 + t} \mathrm{d}t
\]
所以这个积分可以表示为：
\[
\mathrm{B}\left(1 - \left(\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta}\right), \frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta}\right)
\]
根据 \(\mathrm{B}\) 函数的收敛条件要求，其两个参数必须严格大于 0：
其实到这里本题已经做完了，但是表达式还是可以再进一步化简的：
展开原积分：
\[
I = \frac{1}{\alpha\beta} \cdot \frac{\Gamma\left(\frac{1}{\alpha}\right)\Gamma\left(\frac{1}{\beta}\right)}{\Gamma\left(\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta}\right)} \cdot \frac{\Gamma\left(1 - \frac{1}{\alpha} - \frac{1}{\beta}\right)\Gamma\left(\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta}\right)}{\Gamma(1)}
\]
因为 \(\Gamma(1) = 1\) ，故最终化简结果为：
\[
I = \frac{1}{\alpha\beta} \Gamma\left(\frac{1}{\alpha}\right)\Gamma\left(\frac{1}{\beta}\right)\Gamma\left(1 - \frac{1}{\alpha} - \frac{1}{\beta}\right)
\]
综上：当 \(\dfrac{1}{\alpha} + \dfrac{1}{\beta} < 1\) 且 \(\alpha > 0, \beta > 0\) 时，该二重广义积分收敛。
Success
至此，\(\mathrm{B}\) 函数专题内容已全部讲解完毕！我们从 \(\mathrm{B}\) 函数的基础定义入手，循序渐进推导了它的各类拓展形式：定义拓展式、三角形式（高阶 \(\mathrm{Wallis}\) 公式）、分式形式；同时借助两道经典级数例题，梳理出利用积分求解级数的通用解题思路；依托分式积分形式进一步延伸，推导得到余元公式的 \(2\) 种拓展结论；最后以本篇推文中这道综合性较强的反常二重积分例题作为收尾，给这趟 \(\mathrm{B}\) 函数之旅画上了一个圆满的句号！！！
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