1998 年
第 1 题 ¶
Example
\(\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}-2}{x^2}=\) ?
泰勒秒了。
第 2 题 ¶
Example
设 \(\displaystyle z=\frac{1}{x}f(xy)+y\varphi(x+y)\)，\(f,\varphi\) 具有二阶连续导数，则 \(\displaystyle \frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}=\) ?
简单计算题。
第 3 题 ¶
Example
设 \(l\) 为椭圆 \(\displaystyle \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\)，其周长记为 \(a\)，则 \(\displaystyle \oint_l (2xy+3x^2+4y^2)\mathrm{d}s=\) ?
线面积分都是可以将曲线（面）方程代入的，结合对称性，即可求出答案。
第 4 题 ¶
Example
设 \(A\) 为 \(n\) 阶矩阵，\(|A|\neq 0\)，\(A^*\) 为 \(A\) 的伴随矩阵，\(E\) 为 \(n\) 阶单位矩阵。若 \(A\) 有特征值 \(\lambda\)，则 \((A^*)^2+E\) 必有特征值 ?
1989 年数一真题的大题考察了伴随矩阵特征值的性质，忘记的朋友可以回顾一下，忘记的朋友可以复习一下。
本题套用这个性质即可秒杀。
第 5 题 ¶
Example
设平面区域 \(D\) 由曲线 \(\displaystyle y=\frac{1}{x}\) 及直线 \(y=0,x=1,x=\mathrm{e}^2\) 所围成，二维随机变量 \((X,Y)\) 在区域 \(D\) 上服从均匀分布，则 \((X,Y)\) 关于 \(X\) 的边缘概率密度在 \(x=2\) 处的值为 ?
首先求出二维随机变量的概率密度函数，然后根据边缘概率密度的定义列式计算即可，定义题。
第 6 题 ¶
Example
设 \(f(x)\) 连续，则 \(\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\int_0^x tf\left(x^2-t^2\right)\mathrm{d}t =\) ?
(A) \(xf\left(x^2\right)\).
(B) \(-xf\left(x^2\right)\).
(C) \(2xf\left(x^2\right)\).
(D) \(-2xf\left(x^2\right)\).
换元，求导，选 A。
第 7 题 ¶
Example
函数 \(f(x)=\left(x^2-x-2\right)\left|x^3-x\right|\) 不可导点的个数是 ?
(A) \(3\).
(B) \(2\).
(C) \(1\).
(D) \(0\).
结论题，真题第一次考这个结论。
结论
结论：记 \(f(x)=|x-x_{0}|\cdot g(x)\)，且 \(g(x)\) 在 \(x=x_{0}\) 处连续，则：
- \(f(x)\) 在 \(x_{0}\) 处可导 \(\iff\) \(g(x_{0})=0\)
- \(f(x)\) 在 \(x_{0}\) 处不可导 \(\iff\) \(g(x_{0})\neq 0\)
因此本题使用这个结论即可得到：
- 在 \(x=1\) 处，\(f(x)=|x-1|g(x)\)，其中 \(g(x)=(x-2)(x+1)|x(x+1)|\)，在 \(x=1\) 处连续，且 \(g(1)\neq 0\)，故 \(f(x)\) 在 \(x=1\) 处不可导。
- 在 \(x=0\) 处，\(f(x)=|x|g(x)\)，其中 \(g(x)=(x-2)(x+1)|(x+1)(x-1)|\)，在 \(x=0\) 处连续，且 \(g(0)\neq 0\)，故 \(f(x)\) 在 \(x=0\) 处不可导。
- 在 \(x=-1\) 处，\(f(x)=|x+1|g(x)\)，其中 \(g(x)=(x-2)(x+1)|x(x-1)|\)，在 \(x=-1\) 处连续，且 \(g(-1)= 0\)，故 \(f(x)\) 在 \(x=-1\) 处可导。
综上，共有 \(x=1\) 和 \(x=0\) 两个不可导点，选 B。
第 8 题 ¶
Example
已知函数 \(y=y(x)\) 在任意点 \(x\) 处的增量 \(\displaystyle \Delta y=\frac{y\Delta x}{1+x^2}+\alpha\)，且当 \(\Delta x\to 0\) 时，\(\alpha\) 是 \(\Delta x\) 的高阶无穷小，\(y(0)=\pi\)，则 \(y(1)\) 等于 ?
(A) \(2\pi\).
(B) \(\pi\).
(C) \(\mathrm{e}^{\frac{\pi}{4}}\).
(D) \(\pi\mathrm{e}^{\frac{\pi}{4}}\).
对差商取极限得到导数。分离变量解微分方程即可。
第 9 题 ¶
Example
设矩阵 \(\begin{pmatrix} a_1 & b_1 & c_1\\ a_2 & b_2 & c_2\\ a_3 & b_3 & c_3 \end{pmatrix}\) 是满秩的，则直线 \(\displaystyle \frac{x-a_3}{a_1-a_2}=\frac{y-b_3}{b_1-b_2}=\frac{z-c_3}{c_1-c_2}\) 与直线 \(\displaystyle \frac{x-a_1}{a_2-a_3}=\frac{y-b_1}{b_2-b_3}=\frac{z-c_1}{c_2-c_3}\) ?
(A) 相交于一点 .
(B) 重合 .
(C) 平行但不重合 .
(D) 异面 .
对矩阵执行初等行变换不改变矩阵的秩，因此变换后仍然是满秩的。所以第一行和第二行构成的两直线的方向向量是线性无关的，那么两直线不平行也不重合。
我们注意到两直线所过定点的连线可以由两直线的方向向量线性表出，那么三个向量就是共面的，也就是两直线相交，选 A。
第 10 题 ¶
Example
设 \(A,B\) 是两个随机事件 , 且 \(0<P(A)<1,\ P(B)>0,\ P(B\mid A)=P(B\mid \overline{A})\), 则必有 ?
(A) \(P(A\mid B)=P(\overline{A}\mid B)\).
(B) \(P(A\mid B)\neq P(\overline{A}\mid B)\).
(C) \(P(AB)=P(A)P(B)\).
(D) \(P(AB)\neq P(A)P(B)\).
根据定义化简可以得到 \(A,B\) 相互独立，选 C。
第 11 题 ¶
Example
求直线 \(l:\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z-1}{-1}\) 在平面 \(\pi:x-y+2z-1=0\) 上的投影直线 \(l_0\) 的方程 , 并求 \(l_0\) 绕 \(y\) 轴旋转一周所成曲面的方程 .
求直线在平面上的投影，显然用平面束方程最快，考虑到参数后的直线和已知平面不垂直，因此不用单独讨论。
Tip
看不懂我在说什么的可以回顾一下我对 1997 年数一第 14 题的讲解
求出和已知平面垂直的平面后即可用两直线交线的方式表示投影直线 \(l_{0}\)，那么将其表示为 \(y\) 的参数方程，左右两边平方相加即可得到旋转曲面方程。是一个单叶双曲面。
第 12 题 ¶
Example
确定常数 \(\lambda\), 使在右半平面 \(x>0\) 上的向量 \(\boldsymbol{A}(x,y)=2xy(x^4+y^2)^\lambda \boldsymbol{i}-x^2(x^4+y^2)^\lambda \boldsymbol{j}\) 为某二元函数 \(u(x,y)\) 的梯度 , 并求 \(u(x,y)\).
是梯度，所以满足恰当条件，从而得到 \(\lambda=-1\)，然后选取好算的路径计算 \(u(x,y)\) 即可。
Tip
注意所选路径需要避开奇点！这很重要！！！
第 13 题 ¶
Example
从船上向海中沉放某种探测器 , 按探测要求 , 需确定仪器的下沉深度 \(y\) ( 从海平面算起 ) 与下沉速度 \(v\) 之间的函数关系 . 设仪器在重力作用下 , 从海平面由静止开始铅直下沉 , 在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用 . 设仪器的质量为 \(m\), 体积为 \(B\), 海水比重为 \(\rho\), 仪器所受的阻力与下沉速度成正比 , 比例系数为 \(k\ (k>0)\). 试建立 \(y\) 与 \(v\) 所满足的微分方程 , 并求出函数关系式 \(y=y(v)\).
物理题，被“比重”给坑到了，比重表示的是单位体积液体的重量，所以本身就含有重力加速度了。
剩下的根据牛顿第二定律列式，得到一个不显含时间 \(t\) 的二阶可降阶微分方程。所以我们的换元是 \(y'=p\)，\(y''=\dfrac{p\mathrm{~d} p}{\mathrm{~d} y}\)，本题中 \(p\) 是有实际物理含义的，就是速度 \(v\)。
第 14 题 ¶
Example
计算
其中 \(\Sigma\) 为下半球面 \(z=-\sqrt{a^2-x^2-y^2}\) 的上侧 , \(a\) 为大于零的常数 .
补面法 + \(\mathrm{Gauss}\) 公式 .
Tip
注意题干给的曲面方程方向是负向的，所以使用高斯公式后千万不要漏了负号！
对于三重积分部分，使用球坐标系最简单。
第 15 题 ¶
Example
求 \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(\dfrac{\sin \dfrac{\pi}{n}}{n+\dfrac{1}{1}}+\dfrac{\sin \dfrac{2\pi}{n}}{n+\dfrac{1}{2}}+\cdots+\dfrac{\sin \dfrac{n\pi}{n}}{n+\dfrac{1}{n}}\right).\)
对分母的 \(\dfrac{1}{n}\) 进行放缩，其介于 \((0,1)\) 之间。放缩后不等号两端的极限均可以用定积分定义求解。找准步长和积分区间，秒了。
Tip
本题对定积分定义考察的不算太难，对于 2021 年数一那种较难的定积分定义题目，届时再详细介绍方法。
第 16 题 ¶
Example
设正项数列 \(\{a_n\}\) 单调减少 , 且 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n a_n\) 发散 , 试问级数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{a_n+1}\right)^n\) 是否收敛 ? 并说明理由 .
根据莱布尼兹判别法可以知道数列 \(a_{n}\) 的极限是正的常数，那么对待求级数使用根值判别法即可得到敛散性。
第 17 题 ¶
Example
设 \(y=f(x)\) 是区间 \([0,1]\) 上的任一非负连续函数 .
(1) 试证存在 \(x_0\in(0,1)\), 使得在区间 \([0,x_0]\) 上以 \(f(x_0)\) 为高的矩形面积 , 等于在区间 \([x_0,1]\) 上以 \(y=f(x)\) 为曲边的曲边梯形面积 .
(2) 又设 \(f(x)\) 在区间 \((0,1)\) 内可导 , 且 \(f'(x)>-\dfrac{2f(x)}{x}\), 证明 (1) 中的 \(x_0\) 是唯一的 .
第一问，由于要证明的式子里面含有变限积分，那么构造的辅助函数一定是变限积分乘上某一个函数，对照目标式子不难发现乘上 \(x\) 即可。因此构造 \(F(x)=x\displaystyle \int_{x}^{1} f(t) \mathrm{~d} t\)，根据罗尔定理可证得第一问。
第二问，对第一问构造的 \(F(x)\) 求二阶导，研究导函数的单调性即可说明零点唯一。
第 18 题 ¶
Example
已知二次曲面方程 \(x^2+ay^2+z^2+2bxy+2xz+2yz=4\) 可以经过正交变换
化为椭圆柱面方程 \(\eta^2+4\zeta^2=4\), 求 \(a,b\) 的值和正交矩阵 \(P\).
已知二次型最终的标准型，那么特征值就知道了，根据特征值和行列式、迹的关系即可求出参数 \(a,b\)。
然后求出三个特征值对应的特征向量，由于属于不同特征值的特征向量一定正交，所以只需单位化后按列拼起来即可。
第 19 题 ¶
Example
设 \(A\) 是 \(n\) 阶矩阵 , 若存在正整数 \(k\), 使线性方程组 \(A^k\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}\) 有解向量 \(\boldsymbol{\alpha}\), 且 \(A^{k-1}\boldsymbol{\alpha}\neq\boldsymbol{0}\). 证明 : 向量组 \(\boldsymbol{\alpha},A\boldsymbol{\alpha},\dots,A^{k-1}\boldsymbol{\alpha}\) 是线性无关的 .
根据定义写出目标表达式，然后逐步利用 \(A^{k}x=0\) 将式子中的高次项依次消去，只剩下 \(A^{k-1}\alpha\) 和对应的系数，根据题目条件说明系数为零。逐步递推，最终说明使得目标式子成立的所有系数只能全是 0，因此证明出了线性无关。
第 20 题 ¶
Example
已知线性方程组
的一个基础解系为 \((b_{11},b_{12},\dots,b_{1,2n})^\mathrm{T},\ (b_{21},b_{22},\dots,b_{2,2n})^\mathrm{T},\ \dots,\ (b_{n1},b_{n2},\dots,b_{n,2n})^\mathrm{T}\). 试写出线性方程组
的通解 , 并说明理由 .
有点脑筋急转弯的感觉。根据系数矩阵的关系，我们发现 \(A\) 的 \(n\) 个行向量转置后就是第二个方程的 \(n\) 个解向量。根据解空间维度公式我们可以得到 \(r(A)=n\)。又因为 \(B\) 是 \(n\) 行、\(2n\) 列矩阵，行向量线性无关，所以 \(r(B)=n\)，即 \(r(A)=r(B)=n\)。
再根据解空间维度公式，结合 \(B\) 的秩，可以得到第二个方程的解空间维度也是 \(n\)，那么上面说的 \(A\) 的 \(n\) 个行向量转置得到的 \(n\) 个线性无关的解向量就可以作为第二个方程的基础解系，所有就得到了第二个方程的通解。
第 21 题 ¶
Example
设两个随机变量 \(X,Y\) 相互独立 , 且都服从均值为 \(0\), 方差为 \(\dfrac{1}{2}\) 的正态分布 , 求随机变量 \(|X-Y|\) 的方差 .
首先得到 \(Z\sim N(0,1)\)，然后根据方程定义将问题转化为求解 \(\mathbb{E}^{2}(|z|)\)。
第 22 题 ¶
Example
从正态总体 \(N\left(3.4,6^2\right)\) 中抽取容量为 \(n\) 的样本 , 如果要求其样本均值位于区间 \((1.4,5.4)\) 内的概率不小于 \(0.95\), 问样本容量 \(n\) 至少应取多大 ?
化为标准正态分布，查表解不等式即可。
第 23 题 ¶
Example
设某次考试的考生成绩服从正态分布 , 从中随机地抽取 \(36\) 位考生的成绩 , 算得平均成绩为 \(66.5\) 分 , 标准差为 \(15\) 分 . 问在显著性水平 \(0.05\) 下 , 是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为 \(70\) 分 ? 并给出检验过程 .
考察方差 \(\sigma^{2}\) 未知时，对参数 \(\mu\) 的假设检验。纯套路题。
以上就是对于 1998 年数一真题的全部解答，真题依旧复现，如第 4 题的这个结论就光数一的真题就已经考了好几遍了。第 7 题结论第一次考，不了解结论的话考场上直接按照定义来做就行，当然也可以结合图像来辅助理解。第 15 题首次考察定积分定义求解极限问题；中值定理大题辅助函数的构造值得积累。19、20 两个线代大题都出的挺有意思的，一个考察线性无关的定义，另一个更像是脑筋急转弯。至于概率部分，假设检验也是数一真题首次出现，需要掌握。
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