周期性神级结论 2
由于取小数函数的周期性非常重要，所以本小节再带来一道运用此性质的极限问题，同时也作为我们取整函数小专题的收尾！
例题
Example
求极限：
\[
\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\displaystyle\int_0^x \{ t \} \mathrm{d}t}{x}
\]
其中 \(\{ x\} = x - [x]\)，\([x]\) 表示不超过 \(x\) 的最大整数。
解：联系到前几节中的内容，结合取小数函数的周期性，我们发现题干式子的含义是连续周期函数在整个正实轴上的平均值，通过感性理解，这个平均值应该等于该函数在一个周期内的平均值。
我们把这个感性理解用数学语言进行表述，如下：
引理
设 \(f(x)\) 是 \(x \in \mathbb{R}\) 上的以 \(T\) 为周期的连续函数，则：
\[
\lim_{x \to +\infty} \dfrac1x \int_0^x f(t)\mathrm{d}t = \dfrac1T \int_0^Tf(t) \mathrm{d}t
\]
接下来证明这个引理：
因为 \(x \to +\infty\)，所以我们可以把任意大的 \(x\) 表示为周期的整数倍加上一个余项：
\[
x = nT + R \quad (n \in \mathbb{N}, \ 0 \leqslant R < T)
\]
当 \(x \to +\infty\) 时，显然 \(n \to +\infty\)，且 \(\dfrac{n}{x} \to \dfrac{1}{T}\)。
我们将积分区间 \([0, x]\) 拆开：
\[
\int_0^x f(t)\,\mathrm{d}t = \int_0^{nT} f(t)\,\mathrm{d}t + \int_{nT}^{nT+R} f(t)\,\mathrm{d}t
\]
第一项是完整的 \(n\) 个周期，由于 \(f(t)\) 是周期为 \(T\) 的函数，所以每一个周期的积分都相等，即：
\[
\int_0^{nT} f(t)\,\mathrm{d}t = n \int_0^T f(t)\,\mathrm{d}t
\]
第二项不足一个周期，由于 \(f\) 在区间上连续，故它是有界的（不妨设 \(|f(t)| \leqslant M\)）。因此余项积分也是有界的：
\[
\left| \int_{nT}^{nT+R} f(t)\,\mathrm{d}t \right| = \left| \int_0^R f(t)\,\mathrm{d}t \right| \leqslant M \cdot T
\]
现在两边同除以 \(x\) 并取极限：
\[
\begin{aligned}
\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} \int_0^x f(t)\,\mathrm{d}t &= \lim_{x \to +\infty} \left( \frac{n}{x} \int_0^T f(t)\,\mathrm{d}t + \frac{1}{x} \int_0^R f(t)\,\mathrm{d}t \right)\\
&=\lim_{x \to +\infty} \left( \frac{n}{nT+R} \int_0^T f(t)\,\mathrm{d}t + \frac{1}{x} \int_0^R f(t)\,\mathrm{d}t \right)\\
&=\lim_{x \to +\infty} \left( \frac{1}{T} \int_0^T f(t)\,\mathrm{d}t + \frac{1}{x} \cdot \text{有界量} \right)\\
&= \frac{1}{T} \int_0^T f(t)\,\mathrm{d}t\\
\end{aligned}
\]
引理得证！
接下来我们回到原题，直接运用刚刚征得的引理，且取小数函数周期为 \(1\) ，得：
\[
\begin{aligned}
\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\displaystyle\int_0^x \{ t \} \mathrm{d}t}{x} &=
\dfrac1T \int_0^T \{ t \} \mathrm{d}t \quad (T=1)\\
&= \int_0^1 \{ t \} \mathrm{d}t
\end{aligned}
\]
通过上图，直接利用定积分的几何意义，得原式结果为 \([0,1]\) 对应三角形的面积，即 \(\dfrac12 \times 1 \times 1 = \dfrac12\)。
综上：
\[
\boxed{\lim_{x = \to +\infty} \dfrac{\displaystyle\int_0^x \{ t \} \mathrm{d}t}{x} = \dfrac12}
\]
总结
到此为止，和取整函数有关的积分问题的常见讨论就差不多介绍完了，其余的一些技巧难度太大之，后有机会再介绍。回顾本专题的内容，我们一共介绍了下面三个经典结论：
经典结论 1
当 \(\alpha \in \mathbb{N}^*\) 时，有：
\[
\int_{0}^{1}\left(\left [ \dfrac{\alpha}{x} \right ]-\alpha\left [ \dfrac{1}{x} \right ] \right)\mathrm{d}x
=\alpha\ln\alpha-\alpha H_\alpha + \alpha
\]
其中 \(H_\alpha = \displaystyle\sum_{k=1}^{\alpha} \frac{1}{k}\) 是调和级数。
经典结论 2
\[
I=\int_0^1 x \left\{ \frac{1}{x} \right\} \mathrm{d}x=1 - \frac{\pi^2}{12}
\]
其中 \([x]\) 表示不超过 \(x\) 的最大整数。
经典结论 3
\[
\lim_{n \to \infty} \int_0^1 \left\{ \frac{n}{x} \right\}^k \mathrm{d}x=\dfrac{1}{k+1}
\]
其中 \(\{ x\} = x - [x]\)，\([x]\) 表示不超过 \(x\) 的最大整数。
除此之外，我还通过取小数函数的周期性重点向大家介绍了黎曼 - 勒贝格引理（\(\mathrm{Riemann-Lebesgue\; Lemma}\)）的两种一般形式，最后，也就是本小节的内容，又分享了一个周期性函数的常用性质。
Tip
相信通过这个专题的套路拆解，以后再遇到和取整函数有关的积分问题，你都能举一反三、迎刃而解！
P.S. 拆区间 一文也涉及到了取整函数，也采用的是经典的拆区间套路，具有代表性。
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