三角积分
本节来看几道和三角函数有关的不定积分，
n 项和模型
例 1
Example
计算不定积分 \(\displaystyle \int \frac{\sin10x}{\sin x}\mathrm{d}x\)
Hint
看到题目的第一想法肯定是觉得分母太碍事了，如果能消掉就容易计算了。为此，我们需要对分子做添项处理，然后利用三角和差化积裂项拆分分子，便可消去分母 \(\sin x\)，将分式拆为余弦多项式再逐项积分。
由和差化积公式：
\[
\sin A-\sin B=2\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}
\]
对分子拆项：
\[
\begin{aligned} \sin10x &=(\sin10x-\sin8x)+(\sin8x-\sin6x)+(\sin6x-\sin4x)+(\sin4x-\sin2x)+\sin2x \\ &=2\sin x\cos9x+2\sin x\cos7x+2\sin x\cos5x+2\sin x\cos3x+2\sin x\cos x \\ &=2\sin x\left(\cos9x+\cos7x+\cos5x+\cos3x+\cos x\right) \end{aligned}
\]
代入原积分，约去 \(\sin x\):
\[
\begin{aligned} \int\frac{\sin10x}{\sin x}\mathrm{d}x &=\int \frac{2\sin x\left(\cos9x+\cos7x+\cos5x+\cos3x+\cos x\right)}{\sin x}\mathrm{d}x \\ &=2\int\left(\cos9x+\cos7x+\cos5x+\cos3x+\cos x\right)\mathrm{d}x \\ &=2\left(\frac19\sin9x+\frac17\sin7x+\frac15\sin5x+\frac13\sin3x+\sin x\right)+C \end{aligned}
\]
Tip
事实上，我们可以通过类似方法得到如下结论：
\[
\begin{aligned} \frac{\sin2nx}{\sin x}&=2\sum_{k=1}^{n}\cos(2k-1)x\\[4pt] \frac{\sin(2n+1)x}{\sin x}&=1+2\sum_{k=1}^{n}\cos2kx \end{aligned}
\]
巧妙凑微分
接下来这题是一个不常见的三角定积分，常规做法可能会考虑对 \(\tan\) 换元变成有理函数积分处理，虽然计算步骤更多，但是普适性强。下面我分享一种凑微分的方法。
例 2
Example
计算：\(\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{a \tan x+b \cot x} \mathrm{d}x\)
首先切化弦，然后注意到分母的导数和分子的关系，从而顺利整体凑微分。
\[
\begin{aligned} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{a \tan x+b \cot x} \mathrm{d}x &=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x \cos x}{a \sin^{2} x+b \cos^{2} x} \mathrm{d}x \\ &=\frac{1}{2(a-b)} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\mathrm{d}\left(a \sin^{2} x+b \cos^{2} x\right)}{a \sin^{2} x+b \cos^{2} x} \\ &=\frac{1}{2(a-b)}\left.\ln\left(a \sin^{2} x+b \cos^{2} x\right)\right|_{0}^{\frac{\pi}{2}} \\ &=\frac{\ln a-\ln b}{2(a-b)} \end{aligned}
\]
恒等变形
例 3
Example
\[
\int \tan x\tan 2x\tan 3x\mathrm{~d} x
\]
首先我们考虑正切和角公式：
\[
\tan3x=\tan(x+2x)=\frac{\tan x+\tan 2x}{1-\tan x \tan 2x}
\]
则：
\[
\tan 3x-\tan x \tan 2x \tan 3x=\tan x+\tan 2x
\]
移项得：
\[
\tan x \tan2x\tan 3x=\tan3x-\tan x-\tan 2x
\]
这样被积函数就被我们化简了！
\[
\begin{aligned}
\int \tan x\tan 2x\tan 3x\mathrm{~d} x &= \int( \tan3x-\tan x-\tan 2x)\mathrm{~d} x\\
&= -\frac{1}{3}\ln |\cos 3x|+\ln |\cos x|+\frac{1}{2}\ln |\cos 2x|+C
\end{aligned}
\]
Tip
基于上面的恒等式，我们可以把题目中的 \(x, 2x, 3x\) 推广为任意实数倍数 \(ax, bx\) 以及它们的和 \((a+b)x\)。
设 \(a, b\) 为非零常数，且 \(a+b \neq 0\)，则有：
\[
\begin{aligned}
\int \tan(ax) \tan(bx) \tan((a+b)x) \mathrm{~d}x&= \int \left[ \tan((a+b)x) - \tan(ax) - \tan(bx) \right] \mathrm{~d}x\\
&= \int \tan(ax) \tan(bx) \tan((a+b)x) \mathrm{~d}x \\
&= -\frac{1}{a+b}\ln\vert{}\cos((a+b)x)\vert{} + \frac{1}{a}\ln\vert{}\cos(ax)\vert{} + \frac{1}{b}\ln\vert{}\cos(bx)\vert{} + C
\end{aligned}
\]
对于正、余弦连乘的积分，直接考虑积化和差即可，回顾一下和差化积和积化和差公式：
和差化积
- \(\displaystyle \sin x\pm \sin y=2\sin \frac{x\pm y}{2}\cos \frac{x\mp y}{2}\)
- \(\displaystyle \cos x+ \cos y=2\cos \frac{x+ y}{2}\cos \frac{x- y}{2}\)
- \(\displaystyle \cos x- \cos y=-2\sin \frac{x+ y}{2}\sin \frac{x- y}{2}\)
积化和差
- \(\displaystyle \sin x\sin y=\frac{1}{2}(\cos(x-y)-\cos(x+y))\)
- \(\displaystyle\sin x\cos y=\frac{1}{2}(\sin(x+y)+\sin(x-y))\)
- \(\displaystyle \cos x\cos y=\frac{1}{2}(\cos(x+y)+\cos(x-y))\)
来看下面这道题：
例 4
Example
\[
\int \sin x\sin 3x\sin 5x\mathrm{~d} x
\]
直接运用积化和差公式：
\[
\begin{aligned}
\int \sin x\sin 3x\sin 5x\mathrm{~d} x &= \int \frac{\cos 2x-\cos 4x}{2}\cdot \sin 5x\mathrm{~d} x\\
&= \frac{1}{4}\int (\sin 7x+\sin 3x - \sin 9x-\sin x)\mathrm{~d} x\\
&= -\frac{1}{4}\left( \frac{\cos 7x}{7}+\frac{\cos 3x}{3}-\frac{\cos 9x}{9}-\cos x \right)+C
\end{aligned}
\]
再来看一个需要灵活运用恒等变形的题目：
例 5
Example
\[
\int \frac{2x+2x\cos x+1}{x^{2}+x^{2}\cos x+\sin x}\mathrm{~d} x
\]
首先提出分子分母的部分公因式，做商发现出现正切的半角公式，于是顺利解决。
\[
\begin{aligned}
\int \frac{2x+2x\cos x+1}{x^{2}+x^{2}\cos x+\sin x}\mathrm{~d} x &= \int \frac{2x(1+\cos x)+1}{x^{2}(1+\cos x)+\sin x}\mathrm{~d} x\\
&= \int \frac{2x+\frac{1}{1+\cos x}}{x^{2}+ \frac{\sin x}{1+\cos x}}\mathrm{~d} x\\
&= \int \frac{2x+\frac{1}{2}\sec ^{2}\frac{x}{2}}{x^{2}+\tan \frac{x}{2}}\mathrm{~d} x\\
\end{aligned}
\]
化简到这里我们发现分子正好是分母的导数！于是结束。
\[
I=\ln\left( x^{2}+\tan \frac{x}{2} \right)+C
\]
再来看一道和配方结合的题目：
例 6
Example
\[
\int \frac{\mathrm{~d} x }{\sin ^{6}x+\cos ^{6}x}
\]
对分母反复因式分解、配方，并结合 \(\sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1\) 进行化简：
\[
\begin{aligned}
\int \frac{\mathrm{~d} x }{\sin ^{6}x+\cos ^{6}x}&= \int \frac{\mathrm{~d} x }{(\sin ^{2}x+\cos ^{2}x)(\sin ^{4}x+\cos ^{4}x-\sin ^{2}x\cos ^{2}x)}\\
&= \int \frac{\mathrm{~d} x }{\sin ^{4}x+\cos ^{4}x-\sin ^{2}x\cos ^{2}x}\\
&= \int \frac{\mathrm{~d} x }{(\sin ^{2}x-\cos ^{2}x)^{2}+\sin ^{2}x\cos ^{2}x}\\
&= 4\int \frac{\mathrm{~d} x }{4\cos ^{2}2x+\sin ^{2}2x}\\
&= 4\int \frac{\sec ^{2}2x}{\tan ^{2}2x+4}\mathrm{~d} x\\
&= 2\int \frac{\mathrm{~d} \tan 2x }{\tan ^{2}2x+2^{2}}\\
&= \arctan\left( \frac{\tan 2x}{2} \right)+C
\end{aligned}
\]
和参数有关吗
初次看到这个题目我还以为是含参变量积分那一类的题目，做完才知道竟然与参数 \(a\) 无关！这么有意思的题目当然要分享给大家啦！
例 7
Example
\(\displaystyle \int_{0}^{\infty} \frac{\arctan x^{\color{red}{a}}}{1+x^2} \, \mathrm{d}x\)
倒代换 \(x \to \dfrac{1}{x}\)：
\[
\begin{aligned}
I &= \int_{0}^{\infty} \frac{\arctan x^{a}}{1+x^2} \, \mathrm{d}x \\
&= \int_{\infty}^{0} \frac{\arctan \left(\frac{1}{t}\right)^{\!a}}{1+\left(\frac{1}{t}\right)^{\!2}} \left(-\frac{1}{t^2} \mathrm{d}t\right) \quad (x = 1/t,\ \mathrm{d}x = -1/t^2 \mathrm{d}t) \\
&= \int_{0}^{\infty} \frac{\arctan \frac{1}{t^a}}{\frac{t^2+1}{t^2}} \cdot \frac{1}{t^2} \mathrm{d}t \\
&= \int_{0}^{\infty} \frac{\arctan \frac{1}{t^a}}{1+t^2} \mathrm{d}t \\
&= \int_{0}^{\infty} \frac{\arctan \frac{1}{x^a}}{1+x^2} \mathrm{d}x
\end{aligned}
\]
利用反正切恒等式，即：
\[
\arctan t + \operatorname{arctan} \dfrac1t = \frac{\pi}{2},\quad t>0
\]
原积分可以进一步化简：
\[
I = \frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} \frac{\frac{\pi}{2}}{1+x^2} \, \mathrm{d}x = \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} \cdot \left[ \arctan x \right]_{0}^{\infty} = \frac{\pi}{4} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi^2}{8}
\]
Tip
本题的第一个重点是利用倒代换，而注意到这个方法的核心是发现倒代换之后分母结构不变，这是很重要的一个结构，希望大家能将它积累下来。而本题的另一个重点则是反三角函数恒等式的灵活运用，在考场上我们不一定积累到了这么多的恒等式，所以大家在意识到无法化简的时候，不妨考虑一下是否存在恒等式。而验证恒等式的方法也很简单，我们只需要对其求导，验证导数是否恒等于 \(0\) 即可，如果发现是恒等式，那么我们任意代入一个符合定义域的值，就可以知道这个恒等式恒等于哪个常数了 !
习题
Q1
Question
求 \(\displaystyle\int \frac{\mathrm{d}x}{\sin 2x+2\sin x}\).
Q2
Question
求 \(\displaystyle \int \mathrm{e}^{ x } \frac{1+\sin x}{1+\cos x}\mathrm{~d} x\)
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