Flett 中值定理
本节分享一个不是很常见的中值定理——\(\mathrm{Flett}\) 中值定理，其证明比较有难度，证明方法很值得学习，下面一起来看看吧！
Flett 中值定理 ¶
Flett 中值定理
设 \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 上可导，且 \(f'(a)=f'(b)\)，证明：\(\exists \xi\in (a,b)\)，使得 \(f'(\xi)=\dfrac{f(\xi)-f(a)}{\xi-a}\).
分析 ¶
毫无疑问肯定是要构造辅助函数的，我们将要证结论中的 \(\xi\) 改成 \(x\) 整理得：
这是差的形式，因此考虑构造商式：
由于我们后续证明要用到的所有中值定理都要求研究的函数在闭区间内可导，而我们所构造的辅助函数 \(F(x)\) 在 \(x=a\) 这一点无定义，因此考虑补充定义使得 \(F(x)\) 在 \([a,b]\) 上连续。
证明 ¶
根据前文的分析，我们构造的辅助函数是一个分段函数，如下：
显然 \(F(x)\) 在 \([a,b]\) 上连续，在 \((a,b)\) 内可导。且：
Case1：若 \(F(a)=F(b)\)，则由 \(\mathrm{Rolle}\) 定理得：\(\exists \xi\in (a,b)\) 使得 \(F'(\xi)=0\)，结论得证。
Case2：若 \(F(a)\neq F(b)\)，不妨设 \(F(b)>F(a)=f'(a)\)，
而：
由我们先前的假设 \(F(b)>F(a)=f'(a)\) 可得：\(F'(b)<0\)
另一方面，根据导数定义，我们有：
则根据极限的保号性，\(\exists \delta>0\)，使得当 \(x\in(b-\delta,b)\) 时，有 \(\dfrac{F(x)-F(b)}{x-b}<0\)
由于分母是负的，则分母只能是正的，即在 \(b\) 的左领域内，有 \(F(x)>F(b)\)
而我们 Case2 的假设是 \(F(b)>F(a)\) ，因此结合这两行，我们就可以知道 \(F(x)\) 的最大值不可能在区间端点 \(a\)，\(b\) 处取到，即一定在开区间 \((a,b)\) 内部取到，假设这个最大值在 \(\xi\in(a,b)\) 处取得，则根据 \(\mathrm{Fermat}\) 引理，有 \(F'(\xi)=0\)，得证！
综合上面两种情况，我们就顺利的证明了 \(\mathrm{Flett}\) 中值定理，事实上，使用同样的方法，我们还可以证明下面这个命题成立，这两个命题都是 \(\mathrm{Flett}\) 中值定理的表述：
Flett 中值定理的等价表述
设 \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 上可导，且 \(f'(a)=f'(b)\)，证明：\(\exists \xi\in (a,b)\)，使得 \(f'(\xi)=\dfrac{f(b)-f(\xi)}{b-\xi}\).
事实上，\(\mathrm{Flett}\) 中值定理的几何意义也是很显然的：一个闭区间上的可导函数，如果两个端点的一阶导数存在且相等，则区间内部必存在一点，使得这一点到区间端点的连线就是这一点的切线。
Tip
通过这一几何意义，我们其实可以得到另一种证明思路：将图像进行平移、旋转（图像的平移和旋转不会对结论的证明产生影响，反而还能增加一些有用的条件