2026 年

Example

设函数 \(z = z(x, y)\) 由方程 \(x-az = e^{y+az}\)（\(a\) 是非 \(0\) 常数），则 ?

(A) \(\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}-\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{a}\)

(B) \(\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{a}\)

(C) \(\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}-\frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{1}{a}\)

(D) \(\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{1}{a}\)

Example

幂级数 \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{3+(-1)^n}{4}\right)^n x^{2n}\) 的收敛域是 ?

(A) \([-2,2]\)

(B) \([-1,1]\)

(C) \((-2,2)\)

(D) \((-1,1)\)

Example

设函数 \(f(x)\) 在区间 \([-1,1]\) 上有定义，则 ?

(A) 当 \(f(x)\) 在 \((-1,0)\) 单调递减，在 \((0,1)\) 单调递增时，\(f(0)\) 是极小值

(B) 当 \(f(0)\) 是极小值时，\(f(x)\) 在 \((-1,0)\) 单调递减，在 \((0,1)\) 单调递增

(C) 当 \(f(x)\) 的图形在 \([-1,1]\) 是凹的时，\(\displaystyle \frac{f(x)-f(1)}{x-1}\) 在 \([-1,1)\) 单调递增

(D) \(\displaystyle \frac{f(x)-f(1)}{x-1}\) 在 \([-1,1)\) 单调递增时，\(f(x)\) 的图形在 \([-1,1]\) 是凹的

Example

已知有界区域 \(\Omega\) 由曲面 \(z=\sqrt{4-x^2-y^2}\) 与 \(z=\sqrt{x^2+y^2}\) 围成，函数 \(f(u)\) 连续，则 \(\displaystyle\iiint\limits_{\Omega} f(x^2+y^2+z^2)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z=\) ?

(A) \(\displaystyle \int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\theta\int_{0}^{2}\mathrm{d}r\int_{r}^{\sqrt{4-r^2}} f(r^2+z^2)r\mathrm{d}z\)

(B) \(\displaystyle \int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\theta\int_{0}^{\sqrt{2}}\mathrm{d}r\int_{0}^{\sqrt{4-r^2}} f(r^2+z^2)r\mathrm{d}z\)

(C) \(\displaystyle \int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\theta\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\mathrm{d}\varphi\int_{0}^{2} f(r^2)r^2 \sin\varphi\mathrm{d}r\)

(D) \(\displaystyle \int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\theta\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\mathrm{d}\varphi\int_{0}^{2} f(r^2)r^2 \sin\varphi\mathrm{d}r\)

Example

单位矩阵经过若干次互换两行得到的矩阵称为置换矩阵，设 \(A\) 为 \(n\) 阶置换矩阵，\(A^*\) 为 \(A\) 的伴随矩阵，则 ?

(A) \(A^*\) 为置换矩阵

(B) \(A^{-1}\) 为置换矩阵

(C) \(A^{-1}=A^*\)

(D) \(A^{-1}=-A^*\)

Example

设 \(A\)，\(B\) 为 \(n\) 阶矩阵，\(\beta\) 是 \(n\) 维列向量，若 \(A\) 的列向量组可由 \(B\) 的列向量组表示，则 ?

(A) 当 \(Ax = \beta\) 有解时，\(Bx = \beta\) 有解

(B) 当 \(A^T x = \beta\) 有解时，\(B^T x = \beta\) 有解

(C) 当 \(Bx = \beta\) 有解时，\(Ax = \beta\) 有解

(D) 当 \(B^T x = \beta\) 有解时，\(A^T x = \beta\) 有解

Example

设二次型 \(f(x_1,x_2,x_3)=a(x_1^2+x_2^2+x_3^2)+4x_1x_2+4x_1x_3+4x_2x_3\). 若方程 \(f(x_1,x_2,x_3)=-1\) 表示的曲面为圆柱面，则 ?

(A) \(a=-4\)，且 \(f(x_1,x_2,x_3)\) 的规范型为 \(-y_1^2-y_2^2-y_3^2\).

(B) \(a=-4\)，且 \(f(x_1,x_2,x_3)\) 在正交变换下的标准型为 \(-6y_1^2-6y_2^2\).

(C) \(a=2\)，且 \(f(x_1,x_2,x_3)\) 的规范型为 \(-y_1^2-y_2^2-y_3^2\).

(D) \(a=2\)，且 \(f(x_1,x_2,x_3)\) 在正交变换下的标准型为 \(-6y_1^2-6y_2^2\).

Example

设随机变量 \(X \sim N(1,2)\)，令 \(f(t)=E\left[(X+t)^2\right]\)，则 \(f(t)\) 的最小值点和最小值分别为 ?

(A) \(1,2\)

(B) \(1,4\)

(C) \(-1,2\)

(D) \(-1,4\)

Example

设连续型随机变量 \(X\) 的分布函数为 \(F(x)\)，随机变量 \(Y\) 的分布函数为 \(F(ay+b)\)，\(X\) 的数学期望为 \(\mu\)，方差为 \(\sigma^2(\sigma>0)\)，若 \(Y\) 的数学期望和方差分别为 \(0\) 和 \(1\)，则 ?

(A) \(a=\sigma,\ b=\mu\)

(B) \(a=\sigma,\ b=-\mu\)

(C) \(a=\dfrac{1}{\sigma},\ b=\mu\)

(D) \(a=\dfrac{1}{\sigma},\ b=-\mu\)

Example

设随机变量 \(X\) 的概率分布为 \(P\{X = k\} = \dfrac{1}{2^{k+1}}+\dfrac{1}{3^k}\ (k=1,2,\dots)\)，则对于正整数 \(m\)、\(n\) 有 ?

(A) \(P\{X > m+n\mid X > m\} = P\{X > m\}\)

(B) \(P\{X > m+n\mid X > m\} = P\{X > n\}\)

(C) \(P\{X > m+n\mid X > m\} > P\{X > m\}\)

(D) \(P\{X > m+n\mid X > m\} > P\{X > n\}\)

Example

设向量 \(\boldsymbol{v}_1=(0,x,z)\)，\(\boldsymbol{v}_2=(y,0,1)\)，令 \(\boldsymbol{F}(x,y,z)=\boldsymbol{v}_1\times\boldsymbol{v}_2\)，则 \(\mathrm{div}\,\boldsymbol{F}=\) ?

Example

\(\displaystyle\lim\limits_{x \to 0}\left( \frac{1}{x}-\frac{\ln(1+x)}{x\sin x} \right)=\) ?

Example

设函数 \(y=y(x)\) 由参数方程

确定，则 \(\displaystyle \left.\frac{d^2 y}{dx^2}\right|_{t=\frac{\pi}{4}}=\) ?

Example

设 \(\displaystyle\int_{1}^{+\infty}\frac{\ln(x+1)}{x^2}\mathrm{d}x=\) ?

Example

设矩阵

记 \(m(X)\) 为 3 阶矩阵 \(X\) 的实特征值中的最大值，若 \(m(A)<m(B)\)，则 \(a\) 的取值范围为 ?

Example

设随机变量 \(X\) 服从参数为 \(1\) 的泊松分布，随机变量 \(Y\) 服从参数为 \(3\) 的泊松分布，\(X\) 与 \(Y-X\) 相互独立，则 \(E(XY)=\) ?

Example

求 \(f(x,y)=(2x^2-y^2)e^x\) 的极值 .

Example

设 \(f(u)\) 在 \((0,+\infty)\) 内具有 3 阶连续导数，且存在可微函数 \(F(x,y)\) 使

(1) 证明：\(\dfrac{f''(u)}{u}-\dfrac{f(u)}{u}=c\)，\(c\) 为常数；

(2) 设 \(f(1)=1,\ f'(1)=-1,\ f''(1)=0\)，求 \(f(u)\) 的表达式 .

Example

设有向曲线 \(L\) 为椭圆 \(x^2+3y^2=1\) 上沿逆时针方向从点 \(A\left(-\dfrac{1}{2},-\dfrac{1}{2}\right)\) 到点 \(B\left(\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2}\right)\) 的部分，计算曲线积分

Example

设可导函数 \(f(x)\) 严格单调递增且满足 \(\displaystyle\int_{-1}^{1}f(x)dx=0\)，记 \(\displaystyle a=\int_{0}^{1}f(x)dx\).

(1) 证明 \(a>0\)；

(2) 令 \(\displaystyle F(x)=a(1-x^2)+\int_{1}^{x}f(t)dt\)，证明：存在 \(\xi\in(-1,1)\) 使 \(F''(\xi)=0\).

Example

已知向量组

记 \(A=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4)\)，\(G=(\alpha_1,\alpha_2)\).

(1) 证明：\(\alpha_1,\alpha_2\) 是 \(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4\) 的极大线性无关组 .

(2) 求矩阵 \(H\) 使得 \(A=GH\)，并求 \(A^{10}\).

Example

假设某种元件寿命服从指数分布，其均值 \(\theta\) 是未知参数，为估计 \(\theta\)，取 \(n\) 个这种元件同时做寿命实验，试验直到出现 \(k(1\leqslant k\leqslant n)\) 个元件失效时停止 .

(1) 若 \(k=1\)，失效元件寿命记为 \(T\)，

(1.1) 求 \(T\) 的概率密度；

(1.2) 确定 \(a\)，使 \(\hat{\theta}=aT\) 是 \(\theta\) 的无偏估计，并求 \(D(\hat{\theta})\)；

(2) 已知 \(k\) 个失效元件寿命值分别为 \(t_1,t_2,\dots,t_k\)，且 \(t_1\leqslant t_2\leqslant\cdots\leqslant t_k\)，似然函数为

求 \(\theta\) 的最大似然估计值 .