2006 年
第 1 题 ¶
Example
\(\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{x\ln(1+x)}{1-\cos x}=\) ?
近 40 年真题中最简单的极限题。
第 2 题 ¶
Example
微分方程 \(\displaystyle y'=\frac{y(1-x)}{x}\) 的通解是 ?
分离变量。
第 3 题 ¶
Example
设 \(\Sigma\) 是锥面 \(z=\sqrt{x^2+y^2}\ (0\leqslant z\leqslant 1)\) 的下侧，则 \(\displaystyle \iint_{\Sigma} x\,\mathrm{d}y\mathrm{d}z+2y\,\mathrm{d}z\mathrm{d}x+3(z-1)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\) ?
补面法 + 高斯公式。
第 4 题 ¶
Example
点 \((2,1,0)\) 到平面 \(3x+4y+5z=0\) 的距离 \(d=\) ?
套公式。
第 5 题 ¶
Example
设矩阵 \(\displaystyle A=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}\)，\(E\) 为 \(2\) 阶单位矩阵，矩阵 \(B\) 满足 \(BA=B+2E\)，则 \(|B|=\) ?
移项合并后取行列式，注意 \(|k\cdot A|=k^{n}|A|\)。
第 6 题 ¶
Example
设随机变量 \(X\) 与 \(Y\) 相互独立，且均服从区间 \([0,3]\) 上的均匀分布，则 \(P\{\max\{X,Y\}\leqslant 1\}=\) ?
根据均匀分布定义求解即可。
第 7 题 ¶
Example
设函数 \(y=f(x)\) 具有二阶导数，且 \(f'(x)>0,f''(x)>0\)，\(\Delta x\) 为自变量 \(x\) 在点 \(x_0\) 处的增量，\(\Delta y\) 与 \(\mathrm{d}y\) 分别为 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 处对应的增量与微分，若 \(\Delta x>0\)，则 ?
(A) \(0<\mathrm{d}y<\Delta y.\)
(B) \(0<\Delta y<\mathrm{d}y.\)
(C) \(\Delta y<\mathrm{d}y<0.\)
(D) \(\mathrm{d}y<\Delta y<0.\)
选 A。第一种角度考虑画图，因为我们已知单增且下凸，所以可以得到增量和微分的关系。
当然也可以作差后连续使用两次拉格朗日中值定理。
第 8 题 ¶
Example
设 \(f(x,y)\) 为连续函数，则 \(\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\mathrm{d}\theta\int_{0}^{1}f(r\cos\theta,r\sin\theta)r\,\mathrm{d}r\) 等于 ?
(A) \(\displaystyle \int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}}\mathrm{d}x\int_{x}^{\sqrt{1-x^2}}f(x,y)\mathrm{d}y.\)
(B) \(\displaystyle \int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}}\mathrm{d}x\int_{0}^{\sqrt{1-x^2}}f(x,y)\mathrm{d}y.\)
(C) \(\displaystyle \int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}}\mathrm{d}y\int_{y}^{\sqrt{1-y^2}}f(x,y)\mathrm{d}x.\)
(D) \(\displaystyle \int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}}\mathrm{d}y\int_{0}^{\sqrt{1-y^2}}f(x,y)\mathrm{d}x.\)
画图先找出积分区域，然后换序，选 C。
第 9 题 ¶
Example
若级数 \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n\) 收敛，则级数 ?
(A) \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}|a_n|\) 收敛 .
(B) \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n a_n\) 收敛 .
(C) \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n a_{n+1}\) 收敛 .
(D) \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n+a_{n+1}}{2}\) 收敛 .
显然选 D。其余选项反例如下：
第 10 题 ¶
Example
设 \(f(x,y)\) 与 \(\varphi(x,y)\) 均为可微函数 , 且 \(\varphi_y'(x,y)\neq 0\). 已知 \((x_0,y_0)\) 是 \(f(x,y)\) 在约束条件 \(\varphi(x,y)=0\) 下的一个极值点 , 下列选项正确的是 ?
(A) 若 \(f_x'(x_0,y_0)=0\), 则 \(f_y'(x_0,y_0)=0\).
(B) 若 \(f_x'(x_0,y_0)=0\), 则 \(f_y'(x_0,y_0)\neq 0\).
(C) 若 \(f_x'(x_0,y_0)\neq 0\), 则 \(f_y'(x_0,y_0)=0\).
(D) 若 \(f_x'(x_0,y_0)\neq 0\), 则 \(f_y'(x_0,y_0)\neq 0\).
拉格朗日乘数法，根据条件可以得到 \(\lambda\) 的表达式从而得到 \(f_{x}'\) 和 \(f_{y}'\) 之间的关系式，选 D。
第 11 题 ¶
Example
设 \(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\) 均为 \(n\) 维列向量 , \(A\) 是 \(m\times n\) 矩阵 , 下列选项正确的是 ?
(A) 若 \(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\) 线性相关 , 则 \(A\alpha_1,A\alpha_2,\cdots,A\alpha_s\) 线性相关 .
(B) 若 \(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\) 线性相关 , 则 \(A\alpha_1,A\alpha_2,\cdots,A\alpha_s\) 线性无关 .
(C) 若 \(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\) 线性无关 , 则 \(A\alpha_1,A\alpha_2,\cdots,A\alpha_s\) 线性相关 .
(D) 若 \(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\) 线性无关 , 则 \(A\alpha_1,A\alpha_2,\cdots,A\alpha_s\) 线性无关 .
选 A。无关相关类型的题目，一般都有两种处理角度，第一种方法考虑定义：
第二种方法考虑秩的角度，根据秩越乘越小得到秩的关系，从而得到线性相关。
对矩阵秩的相关性质不熟悉的朋友可以参考往期文章：矩阵秩大总结
第 12 题 ¶
Example
设 \(A\) 为 \(3\) 阶矩阵 , 将 \(A\) 的第 \(2\) 行加到第 \(1\) 行得 \(B\), 再将 \(B\) 的第 \(1\) 列的 \(-1\) 倍加到第 \(2\) 列得 \(C\), 记 \(P=\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\), 则 ?
(A) \(C=P^{-1}AP\).
(B) \(C=PAP^{-1}\).
(C) \(C=P^\mathrm{T}AP\).
(D) \(C=PAP^\mathrm{T}\).
考察三类初等矩阵的性质，选 B。
第 13 题 ¶
Example
设 \(A,B\) 为随机事件 , 且 \(P(B)>0,\ P(A\mid B)=1\), 则必有 ?
(A) \(P(A\cup B)>P(A)\).
(B) \(P(A\cup B)>P(B)\).
(C) \(P(A\cup B)=P(A)\).
(D) \(P(A\cup B)=P(B)\).
根据条件概率展开后使用加法公式，选 C。
第 14 题 ¶
Example
设随机变量 \(X\) 服从正态分布 \(N(\mu_1,\sigma_1^2)\), \(Y\) 服从正态分布 \(N(\mu_2,\sigma_2^2)\), 且
则必有 ?
(A) \(\sigma_1<\sigma_2\).
(B) \(\sigma_1>\sigma_2\).
(C) \(\mu_1<\mu_2\).
(D) \(\mu_1>\mu_2\).
化成标准正态分布，根据分布函数的单调性得到结论，选 A。
第 15 题 ¶
Example
设区域 \(D=\{(x,y)\mid x^2+y^2\leqslant 1,\ x\geqslant 0\}\), 计算二重积分
灵活运用对称性，然后使用极坐标。
第 16 题 ¶
Example
设数列 \(\{x_n\}\) 满足 \(0<x_1<\pi,\ x_{n+1}=\sin x_n\ (n=1,2,\cdots)\).
(1) 证明 \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}x_n\) 存在 , 并求该极限 ;
(2) 计算 \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(\frac{x_{n+1}}{x_n}\right)^{\frac{1}{x_n^2}}\).
第一问，单调有界准则。
第二问，根据海涅定理（归结原理）将数列极限转化为函数极限，发现是 \(1^{\infty}\) 型套路题。
第 17 题 ¶
Example
将函数 \(f(x)=\dfrac{x}{2+x-x^2}\) 展开成 \(x\) 的幂级数 .
裂项后分别使用泰勒级数公式，注意收敛域。
第 18 题 ¶
Example
设函数 \(f(u)\) 在 \((0,+\infty)\) 内具有二阶导数 , 且 \(z=f\big(\sqrt{x^2+y^2}\big)\) 满足等式 \(\dfrac{\partial^2 z}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2 z}{\partial y^2}=0\).
(1) 验证 \(f''(u)+\dfrac{f'(u)}{u}=0\);
(2) 若 \(f(1)=0,\ f'(1)=1\), 求函数 \(f(u)\) 的表达式 .
第一问，验证类题，算就完了。
第二问，二阶可降阶，属于显含 \(x\) 的类型，因此换元 \(p=y'\)，\(p'=y''\)。
第 19 题 ¶
Example
设在上半平面 \(D=\{(x,y)\mid y>0\}\) 内 , 函数 \(f(x,y)\) 具有连续偏导数 , 且对任意的 \(t>0\) 都有 \(f(tx,ty)=t^{-2}f(x,y)\).
证明 : 对 \(D\) 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线 \(L\), 都有
本质是 \(k\) 次齐次函数，套路都是直接对 \(t\) 求导。后续证明发现顺着来不太好想，因此可以考虑分析法。
第 20 题 ¶
Example
已知非齐次线性方程组
有 \(3\) 个线性无关的解 .
(1) 证明方程组系数矩阵 \(A\) 的秩 \(r(A)=2\);
(2) 求 \(a,b\) 的值及方程组的通解 .
第一问本质考察一个经典结论：非齐次线性方程组所有解中极大线性无关组中向量的个数比对应齐次方程组的多 1。
下面稍作解释：首先，齐次线性方程组的解空间构成一个 \(n-r(A)\) 维线性空间。
而非齐次线性方程组的 " 解空间 " 不是一个线性空间（对加法不封闭
这个非齐次方程的特解肯定不属于齐次方程的解空间（否则它就是齐次方程的解了
所以可以得出结论：非齐次线性方程组的所有解中极大线性无关组中向量个数比对应的齐次线性方程组的多 1.
第二问，直接化行阶梯型即可。
第 21 题 ¶
Example
设 \(3\) 阶实对称矩阵 \(A\) 的各行元素之和均为 \(3\). 向量 \(\alpha_1=(-1,2,-1)^\mathrm{T},\ \alpha_2=(0,-1,1)^\mathrm{T}\) 是线性方程组 \(Ax=\boldsymbol{0}\) 的两个解 .
(1) 求 \(A\) 的特征值与特征向量 ;
(2) 求正交矩阵 \(Q\) 和对角矩阵 \(\Lambda\), 使得 \(Q^\mathrm{T}AQ=\Lambda\).
第一问，根据行和条件得到一个特征值和对应的特征向量；根据另一个条件得到另一个二重特征值。
第二问，求正交矩阵，套路题，讲过很多遍了。这类题的做题流程我在 1990 年第 18 题详细讲解过，忘记的朋友可以回顾一下。
第 22 题 ¶
Example
设随机变量 \(X\) 的概率密度为
令 \(Y=X^2\), \(F(x,y)\) 为二维随机变量 \((X,Y)\) 的分布函数 , 求 :
(1) \(Y\) 的概率密度 \(f_Y(y)\);
(2) \(F\left(-\dfrac{1}{2},4\right)\).
第一问，画出图像后可以比较好的知道如何分类；第二问根据定义求解即可。
第 23 题 ¶
Example
设总体 \(X\) 的概率密度为
其中 \(\theta\) 是未知参数 \((0<\theta<1)\). \(X_1,X_2,\cdots,X_n\) 为来自总体 \(X\) 的简单随机样本 , 记 \(N\) 为样本值 \(X_1,X_2,\cdots,X_n\) 中小于 \(1\) 的个数 . 求 \(\theta\) 的最大似然估计 .
基础题。
以上就是对于 2006 年数一真题的全部解答，难度很低的一套真题，除了第 19 题都很中规中矩，套路题偏多。适合保持手感，练习熟练度。
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