2019 年
第 1 题 ¶
Example
当 \(x \to 0\) 时 , 若 \(x-\tan x\) 与 \(x^k\) 是同阶无穷小 , 则 \(k=\) ?
(A) \(1\).
(B) \(2\).
(C) \(3\).
(D) \(4\).
基础等价无穷小，选 C。
第 2 题 ¶
Example
设函数
则 \(x=0\) 是 \(f(x)\) 的 ?
(A) 可导点 , 极值点 .
(B) 不可导点 , 极值点 .
(C) 可导点 , 非极值点 .
(D) 不可导点 , 非极值点 .
选 B，过程如图，很详细：
第 3 题 ¶
Example
设 \(\{u_n\}\) 是单调增加的有界数列 , 则下列级数中收敛的是 ?
(A) \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{u_n}{n}\).
(B) \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{1}{u_n}\).
(C) \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{u_n}{u_{n+1}}\right)\).
(D) \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{n+1}^2-u_n^2\right)\).
选 D。根据单调有界准则可以知道 \(\displaystyle \lim_{ n \to \infty }u_{n}\) 是存在的，从而 \(\displaystyle \lim_{ n \to \infty }u_{n}^{2}\) 也存在，所以 D 选项正确。其余选项构造反例即可，都不算难想。
第 4 题 ¶
Example
设函数 \(Q(x,y)=\dfrac{x}{y^2}\). 如果对上半平面 \((y>0)\) 内的任意有向光滑封闭曲线 \(C\) 都有
那么函数 \(P(x,y)\) 可取为 ?
(A) \(y-\dfrac{x^2}{y^3}\).
(B) \(\dfrac{1}{y}-\dfrac{x^2}{y^3}\).
(C) \(\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{y}\).
(D) \(x-\dfrac{1}{y}\).
选 D，满足恰当条件，验证四个选项发现只有 C 和 D 满足；但是 C 选项在 \(x=0\) 处不连续，因此不能选。
第 5 题 ¶
Example
设 \(A\) 是 \(3\) 阶实对称矩阵 , \(E\) 是 \(3\) 阶单位矩阵 . 若 \(A^2+A=2E\), 且 \(|A|=4\), 则二次型 \(\boldsymbol{x}^\mathrm{T}A\boldsymbol{x}\) 的规范形为 ?
(A) \(y_1^2+y_2^2+y_3^2\).
(B) \(y_1^2+y_2^2-y_3^2\).
(C) \(y_1^2-y_2^2-y_3^2\).
(D) \(-y_1^2-y_2^2-y_3^2\).
选 C。根据方程得到特征值的取值，再根据实对称矩阵可以对角化得到有三个特征值，结合行列式的值即可求出全部的三个特征值，从而得到正负惯性指数。
第 6 题 ¶
Example
如图所示 , 有 \(3\) 个平面两两相交 , 交线相互平行 , 它们的方程
组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为 \(A,\overline{A}\), 则 ?
(A) \(r(A)=2,\ r(\overline{A})=3\).
(B) \(r(A)=2,\ r(\overline{A})=2\).
(C) \(r(A)=1,\ r(\overline{A})=2\).
(D) \(r(A)=1,\ r(\overline{A})=1\).
选 A。由图可知方程组无解，根据“交线两两平行”可知齐次方程组只有一个线性无关的解，根据解空间维度公式即可得到结论。
第 7 题 ¶
Example
设 \(A,B\) 为随机事件 , 则 \(P(A)=P(B)\) 的充分必要条件是 ?
(A) \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)\).
(B) \(P(AB)=P(A)P(B)\).
(C) \(P\left(A\overline{B}\right)=P\left(B\overline{A}\right)\).
(D) \(P(AB)=P\left(\overline{A}\;\overline{B}\right)\).
根据定义计算即可，选 C。
第 8 题 ¶
Example
设随机变量 \(X\) 与 \(Y\) 相互独立 , 且都服从正态分布 \(N(\mu,\sigma^2)\), 则 \(P\{|X-Y|<1\}\) ?
(A) 与 \(\mu\) 无关 , 而与 \(\sigma^2\) 有关 .
(B) 与 \(\mu\) 有关 , 而与 \(\sigma^2\) 无关 .
(C) 与 \(\mu,\sigma^2\) 都有关 .
(D) 与 \(\mu,\sigma^2\) 都无关 .
标准化即可，选 A。
第 9 题 ¶
Example
设函数 \(f(u)\) 可导 , \(z = f(\sin y - \sin x) + xy\), 则 \(\dfrac{1}{\cos x}\cdot \dfrac{\partial z}{\partial x} + \dfrac{1}{\cos y}\cdot \dfrac{\partial z}{\partial y} =\) ?
简单计算题。
第 10 题 ¶
Example
微分方程 \(2yy'-y^2-2=0\) 满足条件 \(y(0)=1\) 的特解 \(y=\) ?
分离变量即可。
第 11 题 ¶
Example
幂级数 \(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n)!}x^n\) 在 \((0,+\infty)\) 内的和函数 \(S(x)=\) ?
泰勒。
第 12 题 ¶
Example
设 \(\Sigma\) 为曲面 \(x^2+y^2+4z^2=4\ (z\geqslant 0)\) 的上侧 , 则 \(\displaystyle\iint\limits_{\Sigma}\sqrt{4-x^2-4z^2}\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\) ?
第二型曲面积分，直接代入曲面方程结合对称性即可。
第 13 题 ¶
Example
设 \(A=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)\) 为 \(3\) 阶矩阵 . 若 \(\alpha_1,\alpha_2\) 线性无关 , 且 \(\alpha_3=-\alpha_1+2\alpha_2\), 则线性方程组 \(Ax=\boldsymbol{0}\) 的通解为 ?
根据解空间维度公式得到只需要找到一个线性无关的解向量即可，而题目给出的等式就可以推出一个解向量。
第 14 题 ¶
Example
设随机变量 \(X\) 的概率密度为
\(F(x)\) 为 \(X\) 的分布函数 , \(E(X)\) 为 \(X\) 的数学期望 , 则 \(P\{F(X)>E(X)-1\}=\) ?
对概率密度函数积分得到分布函数，剩下的根据定义计算即可。
第 15 题 ¶
Example
设函数 \(y(x)\) 是微分方程 \(y'+xy=\mathrm{e}^{-\frac{x^2}{2}}\) 满足条件 \(y(0)=0\) 的特解 .
(1) 求 \(y(x)\);
(2) 求曲线 \(y=y(x)\) 的凹凸区间及拐点 .
第一问，套用一阶线性微分方程通解公式即可。
第二问，高中题。
第 16 题 ¶
Example
设 \(a,b\) 为实数 , 函数 \(z=2+ax^2+by^2\) 在点 \((3,4)\) 处的方向导数中 , 沿方向 \(\boldsymbol{l}=-3\boldsymbol{i}-4\boldsymbol{j}\) 的方向导数最大 , 最大值为 \(10\).
(1) 求 \(a,b\);
(2) 求曲面 \(z=2+ax^2+by^2\ (z\geqslant 0)\) 的面积 .
第一问，梯度方向即为方向导数最大的方向；梯度的模长就是方向导数的最大值。
第二问，根据一型曲面积分计算即可。
第 17 题 ¶
Example
求曲线 \(y=\mathrm{e}^{-x}\sin x\ (x\geqslant 0)\) 与 \(x\) 轴之间图形的面积 .
经典好题。首先最直接最简单的方法就是直接使用拉普拉斯变换，之前系统讲过拉普拉斯变换以及本题的求解方法，不会的同学请移步这篇文章：拉普拉斯变换
下面说一下常规方法怎么做最简单。由于 \((0,+\infty)\) 上的积分我们不好处理，于是考虑拆成 \((0,\pi)\)，\((\pi,2\pi)\) ……这样长度都为 \(\pi\) 的区间；然后对所有 \((k\pi,(k+1)\pi)\) 区间做换元 \(x=k\pi+t\) 即可统一所有的积分区间，而提出的因子利用等比级数求和即可。
第 18 题 ¶
Example
设 \(a_n = \displaystyle\int_{0}^{1} x^n \sqrt{1-x^2}\,\mathrm{d}x\ (n=0,1,2,\cdots)\).
(1) 证明数列 \(\{a_n\}\) 单调递减 , 且 \(a_n = \dfrac{n-1}{n+2}a_{n-2}\ (n=2,3,\cdots)\);
(2) 求 \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{a_n}{a_{n-1}}\).
经典好题，本质考察 \(\mathrm{Wallis}\) 公式。
第一问，数列递减是显然的。证明递推公式的常规方法就是直接分部积分构造递推，我系统总结过递推求解积分的方法，文章如下：彻底学会递推求解不定积分 !
我下图使用的方法直接运用了 \(\mathrm{Wallis}\) 公式。
Tip
当然，第一问更直接的方法是直接使用 \(\mathrm{Beta}\) 函数，做换元 \(x^{2}=t\) 得：
因此：
第二问，利用迫敛性即可。
第 19 题 ¶
Example
设 \(\Omega\) 是由锥面 \(x^2+(y-z)^2=(1-z)^2\ (0\leqslant z\leqslant 1)\) 与平面 \(z=0\) 围成的锥体 , 求 \(\Omega\) 的形心坐标 .
经典好题。直接求不是不能求，但是这个图很难画。因此考虑做线性变换将这个斜圆锥变成正圆锥。在计算三重积分的时候需要计算 \(\mathrm{Jacobi}\) 行列式，当然不算也不会有问题，一方面是本题 \(|J|=1\)；另一方面是因为在计算形心的时候分子分母将这个常数约掉了。
第 20 题 ¶
Example
设向量组 \(\boldsymbol{\alpha}_1=(1,2,1)^\mathrm{T},\boldsymbol{\alpha}_2=(1,3,2)^\mathrm{T},\boldsymbol{\alpha}_3=(1,a,3)^\mathrm{T}\) 为 \(\mathbf{R}^3\) 的一个基 , \(\boldsymbol{\beta}=(1,1,1)^\mathrm{T}\) 在这个基下的坐标为 \((b,c,1)^\mathrm{T}\).
(1) 求 \(a,b,c\);
(2) 证明 \(\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3,\boldsymbol{\beta}\) 为 \(\mathbf{R}^3\) 的一个基 , 并求 \(\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3,\boldsymbol{\beta}\) 到 \(\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3\) 的过渡矩阵 .
第一问，线性方程组问题。
第二问，证明线性无关即可说明是一组基；过渡矩阵求解就是纯套路了。
第 21 题 ¶
Example
已知矩阵 \(\displaystyle A=\begin{pmatrix} -2 & -2 & 1 \\ 2 & x & -2 \\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix}\) 与 \(\displaystyle B=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & y \end{pmatrix}\) 相似 .
(1) 求 \(x,y\);
(2) 求可逆矩阵 \(P\) 使得 \(P^{-1}AP=B\).
第一问送分，根据迹和行列式分别相等即可求解。
第二问，由于等式的右端不是对角阵，所以常规方法是利用相似的传递性求解两个可逆矩阵后相乘，计算量比较大。我们考虑使用互逆初等变换，一般使用互逆变换都需要结合待定系数来达到消去某个位置元素的目的，采用这种方法几乎没有计算量。
第 22 题 ¶
Example
设随机变量 \(X\) 与 \(Y\) 相互独立 , \(X\) 服从参数为 \(1\) 的指数分布 , \(Y\) 的概率分布为
令 \(Z=XY\).
(1) 求 \(Z\) 的概率密度 ;
(2) \(p\) 为何值时 , \(X\) 与 \(Z\) 不相关 ;
(3) \(X\) 与 \(Z\) 是否相互独立 ?
第一问，多次考察过的一个离散一个连续类题型，使用全概率公式拆开即可。本题已知 \(X\) 和 \(Y\) 独立，降低分类讨论难度。
第二问，基础题。
第三问，第二问我们得到 \(p\neq \frac{1}{2}\) 时 \(X\) 与 \(Z\) 相关，也就是不独立，所以第三问我们只需要考察 \(p=\frac{1}{2}\) 的情况，我们猜测大概率也是不独立的，取值验证即可。
第 23 题 ¶
Example
设总体 \(X\) 的概率密度为
其中 \(\mu\) 是已知参数 , \(\sigma>0\) 是未知参数 , \(A\) 是常数 . \(X_1,X_2,\cdots,X_n\) 是来自总体 \(X\) 的简单随机样本 .
(1) 求 \(A\);
(2) 求 \(\sigma^2\) 的最大似然估计量 .
第一问根据规范性计算即可。
第二问，基础题。
以上就是对于 2019 年数一真题的全部解答，我最喜欢的真题卷之一。17、18，19 三个题都非常经典，第 21 题第二问考察互逆初等变换，对基本功要求很高。其余题目都是常考考点，综合性较高。整体题目质量很高。
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