2007 年

Example

当 \(x \to 0^+\) 时 , 与 \(\sqrt{x}\) 等价的无穷小量是 ?

(A) \(\displaystyle 1-\mathrm{e}^{\sqrt{x}}\).

(B) \(\displaystyle \ln \dfrac{1+x}{1-\sqrt{x}}\).

(C) \(\displaystyle \sqrt{1+\sqrt{x}}-1\).

(D) \(\displaystyle 1-\cos\sqrt{x}\).

Example

曲线 \(y=\dfrac{1}{x}+\ln(1+\mathrm{e}^x)\) 渐近线的条数为 ?

(A) \(0\).

(B) \(1\).

(C) \(2\).

(D) \(3\).

Example

如图 , 连续函数 \(y=f(x)\) 在区间 \([-3,-2],\,[2,3]\) 上的图形分别是直径为 \(1\) 的上、下半圆周 , 在区间 \([-2,0],\,[0,2]\) 上的图形分别是直径为 \(2\) 的下、上半圆周 . 设 \(F(x)=\displaystyle\int_0^x f(t)\mathrm{d}t\), 则下列结论正确的是 ?

(A) \(F(3)=-\dfrac{3}{4}F(-2)\).

(B) \(F(3)=\dfrac{5}{4}F(2)\).

(C) \(F(-3)=\dfrac{3}{4}F(2)\).

(D) \(F(-3)=-\dfrac{5}{4}F(-2)\).

Example

设函数 \(f(x)\) 在 \(x=0\) 处连续 , 下列命题错误的是 ?

(A) 若 \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x}\) 存在 , 则 \(f(0)=0\).

(B) 若 \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{f(x)+f(-x)}{x}\) 存在 , 则 \(f(0)=0\).

(C) 若 \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x}\) 存在 , 则 \(f'(0)\) 存在 .

(D) 若 \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(-x)}{x}\) 存在 , 则 \(f'(0)\) 存在 .

Example

设函数 \(f(x)\) 在 \((0,+\infty)\) 上具有二阶导数 , 且 \(f''(x)>0\), 令 \(u_n=f(n)\ (n=1,2,\cdots)\), 则下列结论正确的是 ?

(A) 若 \(u_1>u_2\), 则 \(\{u_n\}\) 必收敛 .

(B) 若 \(u_1>u_2\), 则 \(\{u_n\}\) 必发散 .

(C) 若 \(u_1<u_2\), 则 \(\{u_n\}\) 必收敛 .

(D) 若 \(u_1<u_2\), 则 \(\{u_n\}\) 必发散 .

Example

设曲线 \(L:f(x,y)=1\) (\(f(x,y)\) 具有一阶连续偏导数 ) 过第 \(II\) 象限内的点 \(M\) 和第 \(IV\) 象限内的点 \(N\), \(\Gamma\) 为 \(L\) 上从点 \(M\) 到点 \(N\) 的一段弧 , 则下列积分小于零的是 ?

(A) \(\displaystyle\int_\Gamma f(x,y)\mathrm{d}x\).

(B) \(\displaystyle\int_\Gamma f(x,y)\mathrm{d}y\).

(C) \(\displaystyle\int_\Gamma f(x,y)\mathrm{d}s\).

(D) \(\displaystyle\int_\Gamma f_x'(x,y)\mathrm{d}x+f_y'(x,y)\mathrm{d}y\).

Example

设向量组 \(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\) 线性无关 , 则下列向量组线性相关的是 ?

(A) \(\alpha_1-\alpha_2,\,\alpha_2-\alpha_3,\,\alpha_3-\alpha_1\).

(B) \(\alpha_1+\alpha_2,\,\alpha_2+\alpha_3,\,\alpha_3+\alpha_1\).

(C) \(\alpha_1-2\alpha_2,\,\alpha_2-2\alpha_3,\,\alpha_3-2\alpha_1\).

(D) \(\alpha_1+2\alpha_2,\,\alpha_2+2\alpha_3,\,\alpha_3+2\alpha_1\).

Example

设矩阵\(A=\begin{pmatrix} 2 & -1 & -1\\ -1 & 2 & -1\\ -1 & -1 & 2 \end{pmatrix},\ B=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\) , 则 \(A\) 与 \(B\) ?

(A) 合同 , 且相似 .

(B) 合同 , 但不相似 .

(C) 不合同 , 但相似 .

(D) 既不合同 , 也不相似 .

Example

某人向同一目标独立重复射击 , 每次射击命中目标的概率为 \(p\ (0<p<1)\), 则此人第 \(4\) 次射击恰好第 \(2\) 次命中目标的概率为 ?

(A) \(3p(1-p)^2\).

(B) \(6p(1-p)^2\).

(C) \(3p^2(1-p)^2\).

(D) \(6p^2(1-p)^2\).

Example

设随机变量 \((X,Y)\) 服从二维正态分布 , 且 \(X\) 与 \(Y\) 不相关 , \(f_X(x),f_Y(y)\) 分别表示 \(x,y\) 的概率密度 , 则在 \(Y=y\) 的条件下 , \(X\) 的条件概率密度 \(f_{X|Y}(x\mid y)\) 为 ?

(A) \(f_X(x)\).

(B) \(f_Y(y)\).

(C) \(f_X(x)f_Y(y)\).

(D) \(\dfrac{f_X(x)}{f_Y(y)}\).

Example

\(\displaystyle\int_{1}^{2}\frac{1}{x^3}\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}\mathrm{d}x=\) ?

Example

设 \(f(u,v)\) 为二元可微函数 , \(z=f(x^y,y^x)\), 则 \(\dfrac{\partial z}{\partial x}=\) ?

Example

二阶常系数非齐次线性微分方程 \(y''-4y'+3y=2\mathrm{e}^{2x}\) 的通解为 \(y=\) ?

Example

设曲面 \(\Sigma:|x|+|y|+|z|=1\), 则 \(\displaystyle\operatorname{\subset\!\!\!\!\!\!\!\iint\!\!\!\!\!\!\!\supset}\limits_{\Sigma}(x+|y|)\mathrm{d}S=\) ?

Example

设矩阵\(A=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\) , 则 \(A^3\) 的秩为 ?

Example

在区间 \((0,1)\) 中随机地取两个数 , 则这两个数之差的绝对值小于 \(\dfrac{1}{2}\) 的概率为 ?

Example

求函数 \(f(x,y)=x^2+2y^2-x^2y^2\) 在区域 \(D=\{(x,y)\mid x^2+y^2\leqslant 4,\ y\geqslant 0\}\) 上的最大值和最小值 .

Example

计算曲面积分 \(I=\displaystyle\iint_\Sigma xz\,\mathrm{d}y\mathrm{d}z+2zy\,\mathrm{d}z\mathrm{d}x+3xy\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y\), 其中 \(\Sigma\) 为曲面 \(z=1-x^2-\dfrac{y^2}{4}\ (0\leqslant z\leqslant 1)\) 的上侧 .

Example

设函数 \(f(x),g(x)\) 在 \([a,b]\) 上连续 , 在 \((a,b)\) 内具有二阶导数且存在相等的最大值 , \(f(a)=g(a),f(b)=g(b)\), 证明 : 存在 \(\xi\in(a,b)\), 使得 \(f''(\xi)=g''(\xi)\).

Example

设幂级数 \(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\) 在 \((-\infty,+\infty)\) 内收敛 , 其和函数 \(y(x)\) 满足

(1) 证明 \(a_{n+2}=\dfrac{2}{n+1}a_n,\ n=1,2,\cdots\);

(2) 求 \(y(x)\) 的表达式 .

Example

设线性方程组

与方程

有公共解 , 求 \(a\) 的值及所有公共解 .

Example

设 3 阶实对称矩阵 \(A\) 的特征值 \(\lambda_1=1,\lambda_2=2,\lambda_3=-2\), 且 \(\boldsymbol{\alpha}_1=(1,-1,1)^\mathrm{T}\) 是 \(A\) 的属于 \(\lambda_1\) 的一个特征向量 . 记 \(B=A^5-4A^3+E\), 其中 \(E\) 为 3 阶单位矩阵 .

(1) 验证 \(\boldsymbol{\alpha}_1\) 是矩阵 \(B\) 的特征向量 , 并求 \(B\) 的全部特征值与特征向量 ;

(2) 求矩阵 \(B\).

Example

设二维随机变量 \((X,Y)\) 的概率密度为

(1) 求 \(P\{X>2Y\}\);

(2) 求 \(Z=X+Y\) 的概率密度 \(f_Z(z)\).

Example

设总体 \(X\) 的概率密度为

其中参数 \(\theta\ (0<\theta<1)\) 未知 , \(X_1,X_2,\cdots,X_n\) 是来自总体 \(X\) 的简单随机样本 , \(\overline{X}\) 是样本均值 .

(1) 求参数 \(\theta\) 的矩估计量 \(\hat{\theta}\);

(2) 判断 \(4\overline{X}^2\) 是否为 \(\theta^2\) 的无偏估计量 , 并说明理由 .